（13分）设 a _ n 是等差数列， a _ 1 = -…——2019 高考数学第 16 题答案解析

（Ⅰ）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。
由 $a_1 = -10$，可得：
$a_2 = a_1 + d = -10 + d$
$a_3 = a_1 + 2d = -10 + 2d$
$a_4 = a_1 + 3d = -10 + 3d$

根据题意，$a_2 + 10, a_3 + 8, a_4 + 6$ 成等比数列，则中间项的平方等于首尾两项之积：
$(a_3 + 8)^2 = (a_2 + 10)(a_4 + 6)$

代入上述表达式：
$((-10 + 2d) + 8)^2 = ((-10 + d) + 10)((-10 + 3d) + 6)$
$(2d - 2)^2 = d(3d - 4)$

展开并整理方程：
$4d^2 - 8d + 4 = 3d^2 - 4d$
$d^2 - 4d + 4 = 0$
$(d - 2)^2 = 0$

解得 $d = 2$。

故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：
$a_n = a_1 + (n - 1)d = -10 + (n - 1) \times 2 = 2n - 12$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $a_1 = -10, d = 2$，则前 $n$ 项和 $S_n$ 为：
$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$
$S_n = -10n + \frac{n(n - 1)}{2} \times 2$
$S_n = -10n + n^2 - n$
$S_n = n^2 - 11n$

这是一个关于 $n$ 的二次函数，开口向上，对称轴为 $n = -\frac{-11}{2 \times 1} = 5.5$。
因为 $n \in \mathbb{N}^*$，且 $n$ 离对称轴越近，函数值越小，所以当 $n = 5$ 或 $n = 6$ 时，$S_n$ 取得最小值。

计算最小值：
$S_5 = 5^2 - 11 \times 5 = 25 - 55 = -30$
（或 $S_6 = 6^2 - 11 \times 6 = 36 - 66 = -30$）

故 $S_n$ 的最小值为 $-30$。