19．（本小题满分 14 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列．已知 $a_{1}=4, b_{1}=6, b_{2}=2 a_{2}-2, b_{3}=2 a_{3}+4$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{1}=1, c_{n}=\left\{\begin{array}{l}1, \quad 2^{k}<n<2^{k+1} \\ b_{k}, n=2^{k},\end{array}\right.$ 其中 $k \in \mathbf{N}^{*}$ ．
（i）求数列 $\left\{a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)\right\}$ 的通项公式；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．
（I）$a_{n}=3 n+1 ; ~ b_{n}=3 \times 2^{n}$（II）（i）$a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)=9 \times 4^{n}-1$（ii） $\sum_{i=1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)=27 \times 2^{2 n-1}+5 \times 2^{n-1}-n-12 \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$