（12分）已知等差数列 a _ n 的公差不为零， a _…——2013 高考数学第 17 题答案解析

（Ⅰ）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$ ($d \neq 0$)。
由 $a_1, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列，得 $a_{11}^2 = a_1 a_{13}$。
代入通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，有：
$(a_1 + 10d)^2 = a_1(a_1 + 12d)$
展开整理得：
$a_1^2 + 20a_1d + 100d^2 = a_1^2 + 12a_1d$
$8a_1d + 100d^2 = 0$
$4d(2a_1 + 25d) = 0$
因为 $d \neq 0$，且 $a_1 = 25$，所以：
$2 \times 25 + 25d = 0$
解得 $d = -2$。
故通项公式为：
$a_n = 25 + (n-1)(-2) = -2n + 27$。

（Ⅱ）所求和式为 $S = a_1 + a_4 + a_7 + \dots + a_{3n-2}$。
该和式共有 $n$ 项。
令 $b_k = a_{3k-2}$，则：
$b_k = -2(3k-2) + 27 = -6k + 4 + 27 = -6k + 31$。
可以看出 $\{b_k\}$ 是一个首项 $b_1 = a_1 = 25$，公差 $d' = -6$ 的等差数列。
根据等差数列求和公式：
$\sum_{k=1}^{n} a_{3k-2} = \frac{n(b_1 + b_n)}{2}$
其中 $b_n = a_{3n-2} = -6n + 31$。
代入计算：
$\text{原式} = \frac{n[25 + (-6n + 31)]}{2} = \frac{n(56 - 6n)}{2} = n(28 - 3n) = -3n^2 + 28n$。