（12分）（2011•山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A…——2011 高考数学第 18 题答案解析

记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件$D, E, F$。由题意知，$P(D)=0.6, P(E)=0.5, P(F)=0.5$，且各事件相互独立。
则甲、乙、丙负于对手的概率分别为：
$P(\bar{D}) = 1 - 0.6 = 0.4$
$P(\bar{E}) = 1 - 0.5 = 0.5$
$P(\bar{F}) = 1 - 0.5 = 0.5$

（Ⅰ）红队至少两名队员获胜，包含“恰有两人获胜”和“三人均获胜”两种情形。
1. 恰有两人获胜的情况有三种：
- 甲、乙胜，丙负：$P(D E \bar{F}) = 0.6 \times 0.5 \times 0.5 = 0.15$
- 甲、丙胜，乙负：$P(D \bar{E} F) = 0.6 \times 0.5 \times 0.5 = 0.15$
- 乙、丙胜，甲负：$P(\bar{D} E F) = 0.4 \times 0.5 \times 0.5 = 0.10$
2. 三人均获胜的情况：
- $P(D E F) = 0.6 \times 0.5 \times 0.5 = 0.15$

故红队至少两名队员获胜的概率为：
$P = 0.15 + 0.15 + 0.10 + 0.15 = 0.55$

（Ⅱ）$\xi$的可能取值为$0, 1, 2, 3$。
$P(\xi=0) = P(\bar{D}\bar{E}\bar{F}) = 0.4 \times 0.5 \times 0.5 = 0.1$
$P(\xi=1) = P(D\bar{E}\bar{F}) + P(\bar{D}E\bar{F}) + P(\bar{D}\bar{E}F)$
$= 0.6 \times 0.5 \times 0.5 + 0.4 \times 0.5 \times 0.5 + 0.4 \times 0.5 \times 0.5$
$= 0.15 + 0.10 + 0.10 = 0.35$
$P(\xi=2) = 0.55 - P(\xi=3)$ （利用第Ⅰ问结论，或直接计算）
直接计算验证：
$P(\xi=2) = P(DE\bar{F}) + P(D\bar{E}F) + P(\bar{D}EF) = 0.15 + 0.15 + 0.10 = 0.40$
$P(\xi=3) = P(DEF) = 0.6 \times 0.5 \times 0.5 = 0.15$

检验概率和：$0.1 + 0.35 + 0.40 + 0.15 = 1$，符合分布列性质。

$\xi$的分布列为：

数学期望：
$E\xi = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.35 + 2 \times 0.4 + 3 \times 0.15$
$= 0 + 0.35 + 0.8 + 0.45$
$= 1.6$