（1）由期望的定义：
$$E(X) = 0 \times 0.4 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.2 + 3 \times 0.1 = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.3 = 1.$$
（2）令 $f(x) = p_3 x^3 + p_2 x^2 + (p_1 - 1)x + p_0$。
由 $p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = 1$ 得 $p_1 - 1 = -(p_0 + p_2 + p_3)$，故
$$f(x) = p_3 x^3 + p_2 x^2 - (p_0 + p_2 + p_3)x + p_0.$$
容易验证 $f(1) = p_3 + p_2 - (p_0 + p_2 + p_3) + p_0 = 0$，即 $x=1$ 是方程 $f(x)=0$ 的一个根。
求导得：
$$f'(x) = 3p_3 x^2 + 2p_2 x - (p_0 + p_2 + p_3).$$
注意 $f'(1) = 3p_3 + 2p_2 - p_0 - p_2 - p_3 = p_2 + 2p_3 - p_0$。
又 $E(X) = p_1 + 2p_2 + 3p_3$，由 $p_1 = 1 - p_0 - p_2 - p_3$ 代入得：
$$E(X) = 1 - p_0 + p_2 + 2p_3,$$
因此 $E(X) - 1 = p_2 + 2p_3 - p_0 = f'(1)$。
同时 $f'(0) = -(p_0 + p_2 + p_3) < 0$（因为 $p_0 > 0$）。
**情形一：$E(X) \leq 1$，即 $f'(1) \leq 0$。**
$f'(x)$ 是开口向上（或退化为一次/常数，但 $p_3, p_2$ 不全为零时为二次）的函数。由于 $f'(0) < 0$ 且 $f'(1) \leq 0$，$f'(x)$ 的两个零点 $x_1, x_2$（设 $x_1 < x_2$）满足 $x_1 < 0 < 1 \leq x_2$。
因此在 $(0, 1]$ 上 $f'(x) < 0$（当 $x_2 = 1$ 时在 $(0,1)$ 上为负，$x=1$ 处为零），即 $f(x)$ 在 $(0, x_2)$ 上严格递减。
对任意 $x \in (0, 1)$，有 $f(x) > f(1) = 0$，所以 $f(x) = 0$ 在 $(0, 1)$ 内无根。
又 $f(0) = p_0 > 0$，且 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上恒正，故方程的最小正实根为 $x = 1$，即 $p = 1$。
**情形二：$E(X) > 1$，即 $f'(1) > 0$。**
此时 $f'(0) < 0$，$f'(1) > 0$，由零点定理知 $f'(x)$ 在 $(0, 1)$ 内存在一个零点 $x_4$，且 $f'(x)$ 的另一零点 $x_3 < 0$。
$f(x)$ 在 $(0, x_4)$ 上递减，在 $(x_4, +\infty)$ 上递增。
由于 $f(0) = p_0 > 0$，$f(1) = 0$，而 $f(x)$ 在 $(x_4, 1)$ 上递增且 $f(1)=0$，故 $f(x_4) < f(1) = 0$。
由 $f(0) > 0$ 且 $f(x_4) < 0$，根据零点定理，$f(x)$ 在 $(0, x_4)$ 内存在零点 $p$，且 $p < x_4 < 1$。
因此方程的最小正实根 $p < 1$。
综上，当 $E(X) \leq 1$ 时 $p = 1$；当 $E(X) > 1$ 时 $p < 1$。
（3）实际含义：若每个微生物个体平均繁殖的后代数不超过1个，则该种群经过足够多代后必然走向灭绝；若平均繁殖的后代数超过1个，则种群有一定的存活概率，灭绝的概率严格小于1。