如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C， A P…——2017 高考数学第 21 题答案解析

**证明：**

(1) 连接 $BC$。
因为 $AB$ 为半圆 $O$ 的直径，根据圆周角定理推论，直径所对的圆周角是直角，所以 $\angle ACB = 90^\circ$。
在 Rt$\triangle ABC$ 中，两锐角互余，即 $\angle CAB + \angle ABC = 90^\circ$。

因为直线 $PC$ 切半圆 $O$ 于点 $C$，根据弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所以 $\angle ACP = \angle ABC$。

又因为 $AP \perp PC$，所以 $\angle APC = 90^\circ$。
在 Rt$\triangle APC$ 中，$\angle PAC + \angle ACP = 90^\circ$。

综上所述：
$\angle PAC = 90^\circ - \angle ACP$
$\angle CAB = 90^\circ - \angle ABC$
由于 $\angle ACP = \angle ABC$，故 $\angle PAC = \angle CAB$。

(2) 由第 (1) 问可知 $\angle PAC = \angle CAB$。
又因为 $\angle APC = \angle ACB = 90^\circ$，
所以 $\triangle APC \sim \triangle ACB$（两角对应相等，三角形相似）。

根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$$ \frac{AP}{AC} = \frac{AC}{AB} $$

整理得：
$$ AC^2 = AP \cdot AB $$