2014_新课标II Paper
11．（15分）2012年10月，奥地利极限运动员菲利克斯•鲍姆加特纳乘热气球升至约39km的高空后跳下，经过4分20秒到达距地面约1.5km高度处，打开降落伞并成功落地，打破了跳伞运动的多项世界纪录，取重力加速度的大小$\mathsf { g } { = } 1 0 \mathsf { m } / \mathsf { s } ^ { 2 }$
（1）忽略空气阻力，求该运动员从静止开始下落至 1.5km 高度处所需的时间及其在此处速度的大小；
（2）实际上，物体在空气中运动时会受到空气的阻力，高速运动时所受阻力的大小可近似表示为 f=kv<sup>2</sup>，其中 v 为速率，k 为阻力系数，其数值与物体的形状、横截面积及空气密度有关．已知该运动员在某段时间内高速下落的 v﹣t图象如图所示，若该运动员和所穿装备的总质量 m=100kg，试估算该运动员在达到最大速度时所受阻力的阻力系数．（结果保留1位有效数字）
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（1）忽略空气阻力时，运动员做自由落体运动。
下落的高度为：
$h = 39\text{km} - 1.5\text{km} = 37.5\text{km} = 37500\text{m}$
根据自由落体运动位移公式 $h = \frac{1}{2}gt^2$，代入数据得：
$37500 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
解得时间：
$t = \sqrt{\frac{2 \times 37500}{10}} = \sqrt{7500} = 50\sqrt{3}\text{s} \approx 86.6\text{s}$
保留两位有效数字（或取整），约为 $87\text{s}$。
此时运动员的速度大小为：
$v = gt = 10 \times 50\sqrt{3} = 500\sqrt{3}\text{m/s} \approx 866\text{m/s}$
保留两位有效数字，约为 $870\text{m/s}$。
（2）由 $v-t$ 图象可知，当时间 $t$ 较大时，速度趋于稳定，即达到最大速度 $v_m$。
从图中读取最大速度约为：
$v_m \approx 360\text{m/s}$
当速度达到最大值时，加速度为零，运动员处于受力平衡状态。此时重力与空气阻力大小相等，即：
$mg = f$
又已知阻力公式 $f = kv_m^2$，联立可得：
$mg = kv_m^2$
代入数据 $m=100\text{kg}, g=10\text{m/s}^2, v_m=360\text{m/s}$：
$100 \times 10 = k \times 360^2$
$1000 = k \times 129600$
解得：
$k = \frac{1000}{129600} \approx 0.0077\text{kg/m}$
题目要求结果保留1位有效数字，故：
$k \approx 0.008\text{kg/m}$