（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分） 端午…——2015 高考数学第 17 题答案解析

（1）从10个粽子中任意选取3个，总的选法种数为 $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$。

设事件 $A$ 为“三种粽子各取到1个”。
要满足该事件，需从2个豆沙粽中选1个，从3个肉粽中选1个，从5个白粽中选1个。
符合条件的选法种数为 $C_2^1 C_3^1 C_5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$。

故所求概率为：
$$ P(A) = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} $$

（2）由题意知，豆沙粽共有2个，从中任取3个，取到的豆沙粽个数 $X$ 的可能取值为 $0, 1, 2$。

当 $X=0$ 时，表示取到的3个粽子中没有豆沙粽，即从剩下的8个非豆沙粽中选取3个：
$$ P(X=0) = \frac{C_8^3}{C_{10}^3} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}}{120} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15} $$

当 $X=1$ 时，表示取到1个豆沙粽和2个非豆沙粽：
$$ P(X=1) = \frac{C_2^1 C_8^2}{C_{10}^3} = \frac{2 \times \frac{8 \times 7}{2 \times 1}}{120} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15} $$

当 $X=2$ 时，表示取到2个豆沙粽和1个非豆沙粽：
$$ P(X=2) = \frac{C_2^2 C_8^1}{C_{10}^3} = \frac{1 \times 8}{120} = \frac{8}{120} = \frac{1}{15} $$

所以，$X$ 的分布列为：

$X$ 的数学期望为：
$$ E(X) = 0 \times \frac{7}{15} + 1 \times \frac{7}{15} + 2 \times \frac{1}{15} = \frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $$