设函数 f ( x ) = array l l 3 x -…——2015 高考数学第 10 题答案解析

令 $t = f(a)$，则原方程化为 $f(t) = 2^t$。
根据函数 $f(x)$ 的定义：
1. 当 $t < 1$ 时，$f(t) = 3t - 1$。方程变为 $3t - 1 = 2^t$。
考察函数 $g(t) = 2^t - (3t - 1)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上的零点。
$g(0) = 1 - (-1) = 2 > 0$，$g(1) = 2 - 2 = 0$（注意定义域边界）。
实际上，当 $t < 1$ 时，$2^t > 0$。若 $t \le 1/3$，则 $3t-1 \le 0$，此时 $2^t > 3t-1$ 恒成立，无解。
若 $1/3 < t < 1$，由于 $y=2^t$ 是凸函数，$y=3t-1$ 是直线，且在 $t=1$ 处相切或相交？
让我们直接代入验证关键点。
更简单的方法是直接分析 $f(t)=2^t$ 的解集。
由定义，$f(t) = \begin{cases} 3t-1, & t<1 \\ 2^t, & t \ge 1 \end{cases}$。

情况一：$t \ge 1$。
此时 $f(t) = 2^t$。方程 $f(t) = 2^t$ 变为 $2^t = 2^t$，恒成立。
所以，只要 $t \ge 1$，方程即成立。
即需满足 $f(a) \ge 1$。

情况二：$t < 1$。
此时 $f(t) = 3t - 1$。方程变为 $3t - 1 = 2^t$。
设 $h(t) = 2^t - 3t + 1$。
$h'(t) = 2^t \ln 2 - 3$。
当 $t < 1$ 时，$2^t < 2$，$\ln 2 \approx 0.693$，故 $2^t \ln 2 < 1.386 < 3$。
所以 $h'(t) < 0$，函数 $h(t)$ 在 $(-\infty, 1)$ 单调递减。
又 $h(1) = 2 - 3 + 1 = 0$。
所以在 $t < 1$ 时，$h(t) > h(1) = 0$，即 $2^t > 3t - 1$。
故方程 $3t - 1 = 2^t$ 在 $t < 1$ 时无解。

综上所述，原方程等价于 $f(a) \ge 1$。

接下来求解 $f(a) \ge 1$：
1. 当 $a \ge 1$ 时，$f(a) = 2^a$。
$2^a \ge 1 \Rightarrow a \ge 0$。
结合前提 $a \ge 1$，得 $a \ge 1$。

2. 当 $a < 1$ 时，$f(a) = 3a - 1$。
$3a - 1 \ge 1 \Rightarrow 3a \ge 2 \Rightarrow a \ge \frac{2}{3}$。
结合前提 $a < 1$，得 $\frac{2}{3} \le a < 1$。

取并集，得 $a$ 的取值范围是 $[\frac{2}{3}, 1) \cup [1, +\infty) = [\frac{2}{3}, +\infty)$。