19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{1}=b_{1}=1, a_{5}=5\left(a_{4}-a_{3}\right), b_{5}=4\left(b_{4}-b_{3}\right)$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证：$S_{n} S_{n+2}<S_{n+1}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ；
（III）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(3 a_{n}-2\right) b_{n}}{a_{n} a_{n+2}}, & n \text { 为奇数，} \\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}}, & n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$ 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和．
Answer key
（I）$a_{n}=n, b_{n}=2^{n-1}$ ；（II）证明见解析；（III）$\frac{4^{n}}{2 n+1}-\frac{6 n+5}{9 \times 4^{n}}-\frac{4}{9}$ ． ##