（1）在已知等式 $\frac { 2 S _ { n } } { n } = a _ { n + 1 } - \frac { 1 } { 3 } n ^ { 2 } - n - \frac { 2 } { 3 }$ 中，令 $n=1$。
因为 $S_1 = a_1 = 1$，代入得：
$2 \times 1 = a_2 - \frac{1}{3} - 1 - \frac{2}{3}$
$2 = a_2 - 2$
解得 $a_2 = 4$。
（2）由已知条件可得：
$2S_n = n a_{n+1} - \frac{1}{3}n^3 - n^2 - \frac{2}{3}n \quad \cdots ①$
当 $n \ge 2$ 时，将 $n$ 替换为 $n-1$，得：
$2S_{n-1} = (n-1)a_n - \frac{1}{3}(n-1)^3 - (n-1)^2 - \frac{2}{3}(n-1) \quad \cdots ②$
①式减去②式，得：
$2(S_n - S_{n-1}) = n a_{n+1} - (n-1)a_n - \left[ \frac{1}{3}(n^3 - (n-1)^3) + (n^2 - (n-1)^2) + \frac{2}{3}(n - (n-1)) \right]$
因为 $S_n - S_{n-1} = a_n$，且括号内多项式化简为：
$\frac{1}{3}(3n^2 - 3n + 1) + (2n - 1) + \frac{2}{3} = n^2 - n + \frac{1}{3} + 2n - 1 + \frac{2}{3} = n^2 + n$
所以有：
$2a_n = n a_{n+1} - (n-1)a_n - (n^2 + n)$
整理得：
$n a_{n+1} = (n+1)a_n + n(n+1)$
两边同时除以 $n(n+1)$，得：
$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + 1$
即 $\frac{a_{n+1}}{n+1} - \frac{a_n}{n} = 1$。
又由（1）知 $a_1=1, a_2=4$，则 $\frac{a_2}{2} - \frac{a_1}{1} = 2 - 1 = 1$，符合上述规律。
故数列 $\{ \frac{a_n}{n} \}$ 是首项为 $\frac{a_1}{1}=1$，公差为 $1$ 的等差数列。
所以 $\frac{a_n}{n} = 1 + (n-1) \times 1 = n$，即 $a_n = n^2$。
经检验，$n=1$ 时也成立。
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = n^2$。
（3）当 $n=1$ 时，$\frac{1}{a_1} = 1 < \frac{7}{4}$，不等式成立。
当 $n \ge 2$ 时，因为 $a_n = n^2$，所以 $\frac{1}{a_n} = \frac{1}{n^2}$。
利用放缩法：$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$。
则：
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$
$< 1 + \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)$
注意此处为了更精确地控制范围，直接从第三项开始放缩（或者保留前两项精确值）：
原式 $= 1 + \frac{1}{4} + \sum_{k=3}^n \frac{1}{k^2} < 1 + \frac{1}{4} + \sum_{k=3}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right)$
$= 1 + \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)$
$= 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n}$
$= \frac{7}{4} - \frac{1}{n}$
因为 $n \in \mathbb{N}^*$，所以 $\frac{1}{n} > 0$，故 $\frac{7}{4} - \frac{1}{n} < \frac{7}{4}$。
综上所述，对一切正整数 $n$，都有 $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{7}{4}$。