（1）求导得 $f'(x) = m e^{mx} + 2x - m = m(e^{mx} - 1) + 2x$。
当 $m \geqslant 0$ 时：
若 $x < 0$，则 $mx \leqslant 0$，故 $e^{mx} - 1 \leqslant 0$，且 $2x < 0$，所以 $f'(x) < 0$；
若 $x > 0$，则 $mx \geqslant 0$，故 $e^{mx} - 1 \geqslant 0$，且 $2x > 0$，所以 $f'(x) > 0$。
当 $m < 0$ 时：
若 $x < 0$，则 $mx > 0$，故 $e^{mx} - 1 > 0$，此时 $m(e^{mx} - 1) < 0$，又 $2x < 0$，所以 $f'(x) < 0$；
若 $x > 0$，则 $mx < 0$，故 $e^{mx} - 1 < 0$，此时 $m(e^{mx} - 1) > 0$。
为了严谨判断符号，设 $h(x) = f'(x)$，则 $h'(x) = m^2 e^{mx} + 2$。
由于 $m^2 e^{mx} > 0$，故 $h'(x) > 2 > 0$，即 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
又 $f'(0) = m(1-1) + 0 = 0$。
所以当 $x < 0$ 时，$f'(x) < f'(0) = 0$；
当 $x > 0$ 时，$f'(x) > f'(0) = 0$。
综上所述，无论 $m$ 取何值，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
（2）由（1）可知，$f(x)$ 在 $[-1, 0]$ 上单调递减，在 $[0, 1]$ 上单调递增。
因此，$f(x)$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最小值为 $f(0)$。
最大值必在端点处取得，即 $\max \{ f(-1), f(1) \}$。
对于任意 $x_1, x_2 \in [-1, 1]$，都有 $|f(x_1) - f(x_2)| \leqslant e - 1$，
等价于 $f(x)_{\max} - f(x)_{\min} \leqslant e - 1$。
即需满足：
$$
\begin{cases}
f(1) - f(0) \leqslant e - 1 \\
f(-1) - f(0) \leqslant e - 1
\end{cases}
$$
计算函数值：
$f(0) = e^0 + 0 - 0 = 1$
$f(1) = e^m + 1 - m$
$f(-1) = e^{-m} + 1 + m$
代入不等式组：
$$
\begin{cases}
(e^m + 1 - m) - 1 \leqslant e - 1 \implies e^m - m \leqslant e - 1 \\
(e^{-m} + 1 + m) - 1 \leqslant e - 1 \implies e^{-m} + m \leqslant e - 1
\end{cases}
$$
令 $g(t) = e^t - t$。
第一个不等式为 $g(m) \leqslant e - 1$。
第二个不等式中，令 $t = -m$，则 $e^{-m} + m = e^t - t = g(t) = g(-m)$。
故第二个不等式等价于 $g(-m) \leqslant e - 1$。
研究函数 $g(t) = e^t - t$ 的性质：
$g'(t) = e^t - 1$。
当 $t < 0$ 时，$g'(t) < 0$，$g(t)$ 单调递减；
当 $t > 0$ 时，$g'(t) > 0$，$g(t)$ 单调递增。
所以 $g(t)$ 在 $t=0$ 处取得极小值 $g(0)=1$。
注意到 $g(1) = e - 1$，$g(-1) = e^{-1} - (-1) = \frac{1}{e} + 1$。
因为 $e \approx 2.718$，所以 $\frac{1}{e} + 1 < 1 + 1 = 2 < e - 1 \approx 1.718$ 是错误的估算，重新比较：
$e - 1 \approx 1.718$，$\frac{1}{e} + 1 \approx 0.368 + 1 = 1.368$。
显然 $g(-1) < e - 1$ 且 $g(1) = e - 1$。
由于 $g(t)$ 在 $(-\infty, 0]$ 递减，在 $[0, +\infty)$ 递增，且 $g(1) = e - 1$。
我们要解 $g(m) \leqslant g(1)$ 和 $g(-m) \leqslant g(1)$。
对于 $g(m) \leqslant e - 1$：
由于 $g(t)$ 在 $[0, +\infty)$ 单调递增，且 $g(1) = e - 1$，故当 $m \geqslant 0$ 时，$0 \leqslant m \leqslant 1$。
由于 $g(t)$ 在 $(-\infty, 0]$ 单调递减，我们需要找到 $t_0 < 0$ 使得 $g(t_0) = e - 1$。
观察 $g(-1) = \frac{1}{e} + 1$。因为 $e > 2$，$\frac{1}{e} < 0.5$，所以 $g(-1) < 1.5 < e - 1$。
实际上，方程 $e^t - t = e - 1$ 有两个根，一个是 $t=1$。另一个根设为 $t_2$。
由图象对称性及数值可知，$t_2 < -1$ 是不成立的，让我们更仔细地看。
$g(-1) = e^{-1} + 1 \approx 1.368$。
$e - 1 \approx 1.718$。
所以 $g(-1) < e - 1$。
这意味着在负半轴，满足 $g(t) \leqslant e - 1$ 的 $t$ 的范围下界比 $-1$ 更小。
但是题目要求同时满足 $g(m) \leqslant e - 1$ 和 $g(-m) \leqslant e - 1$。
让我们换一种方式，直接利用 $g(t)$ 的单调性。
条件 1：$g(m) \leqslant e - 1$。
条件 2：$g(-m) \leqslant e - 1$。
已知 $g(1) = e - 1$。
因为 $g(t)$ 在 $[0, +\infty)$ 递增，所以 $g(m) \leqslant g(1) \iff m \leqslant 1$ (当 $m \ge 0$)。
若 $m < 0$，则 $g(m)$ 随 $m$ 减小而增大。
我们需要确定 $g(m) \le e-1$ 的解集。
令 $g(t) = e-1$。已知 $t=1$ 是一个根。
考察 $t=-1$， $g(-1) = 1/e + 1 < e - 1$ (因为 $e^2 - 2e - 1 > 0 \Rightarrow e > 1+\sqrt{2} \approx 2.414$，成立)。
考察 $t$ 更小的情况，例如 $t = -2$，$g(-2) = e^{-2} + 2 \approx 0.135 + 2 = 2.135 > 1.718$。
所以在 $(-\infty, 0)$ 上存在唯一的 $t_0 \in (-2, -1)$ 使得 $g(t_0) = e - 1$。
因此 $g(m) \le e - 1 \iff t_0 \le m \le 1$。
同理，$g(-m) \le e - 1 \iff t_0 \le -m \le 1 \iff -1 \le m \le -t_0$。
取交集：
$m \in [t_0, 1] \cap [-1, -t_0]$。
因为 $t_0 < -1$，所以 $-t_0 > 1$。
交集为 $[\max(t_0, -1), \min(1, -t_0)] = [-1, 1]$。
验证边界：
当 $m=1$ 时，$g(1) = e-1$，$g(-1) = 1/e+1 < e-1$。满足。
当 $m=-1$ 时，$g(-1) < e-1$，$g(1) = e-1$。满足。
当 $m=0$ 时，$g(0)=1 < e-1$。满足。
若 $m > 1$，则 $g(m) > g(1) = e - 1$，不满足条件 1。
若 $m < -1$，则 $-m > 1$，故 $g(-m) > g(1) = e - 1$，不满足条件 2。
综上，$m$ 的取值范围是 $[-1, 1]$。