（12分）已知 a, b, c 分别为 A B C 三个内…——2012 高考数学第 17 题答案解析

【考点】 HU ：解三角形．
【专题】11：计算题．
【分析】①由正弦定理有：$\sqrt{3} \sin \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}-\sin \mathrm{C} \cos \mathrm{A}-\sin \mathrm{C}=0$ ，可以求出 A ；
②有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．
【解答】解：（1） $\mathrm{c}=\sqrt{3} \mathrm{a} \sin \mathrm{C}-\cos \mathrm{A}$ ，由正弦定理有：
$\sqrt{3} \sin \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}-\sin \mathrm{C} \cos \mathrm{A}-\sin \mathrm{C}=0$ ，即 $\sin \mathrm{C} \bullet(\sqrt{3} \sin \mathrm{~A}-\cos \mathrm{A}-1)=0$ ，
又， $\sin C \neq 0$ ，
所以 $\sqrt{3} \sin \mathrm{~A}-\cos \mathrm{A}-1=0$ ，即 $2 \sin \left(\mathrm{~A}-\frac{\pi}{6}\right)=1$ ，
所以 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$ ；
② $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{bc} \sin \mathrm{A}=\sqrt{3}$ ，所以 $\mathrm{bc}=4$ ，
$a=2$ ，由余弦定理得：$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$ ，即 $4=b^{2}+c^{2}-b c$ ，
即有 $\left\{\begin{array}{l}b c=4 \\ b^{2}+c^{2}-b c=4\end{array}\right.$ ，
解得 $b=c=2$ ．
【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式