2012年高考数学真题及答案解析

1．（5 分）已知集合 $A=\{x \in R \mid 3 x+2>0\}, B=\{x \in R \mid(x+1)(x-3)>0\}$ ，则 $A \cap B=$

2．（5 分）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是

3．（5 分）设 $a, b \in R$. ＂$a=0$＂是＂复数 $a+b i$ 是纯虚数＂的（）

4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为

5．（5 分）如图，$\angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$ 于点 $D$ ，以 $B D$ 为直径的圆与 $B C$ 交于点 E．则

6．（5 分）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字

的三位数．其中奇数的个数为

7．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是

正（主）视图

侧（左）视图

8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（）

9．（5 分）直线 $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=-1-t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）与曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \alpha \\ y=3 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）的交点个数为 $\_\_\_\_$ 2 ．

10．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$s_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1}=\frac{1}{2}, s_{2}=a_{3}$ ，则 $a_{2}=$ 1 ．

11．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，若 $a=2, b+c=7, \cos B=-\frac{1}{4}$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ 4 ．

12．（5 分）在直角坐标系 $x O y$ 中．直线 $l$ 过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ ．且与该抛物线相交于 $A$ 、 $B$ 两点．其中点 $A$ 在 $x$ 轴上方．若直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ．则 $\triangle$ OAF 的面积为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ ．

13．（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 的值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

14．（5 分）已知 $f(x)=m(x-2 m)(x+m+3), g(x)=2^{x}-2$ ，若同时满足条件：
①$\forall x \in R, f(x)<0$ 或 $g(x)<0$ ；
②$\exists x \in(-\infty,-4), f(x) g(x)<0$ ．
则 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （－4，－2） ．

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间。

16．（14分）如图 1，在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, B C=3, A C=6, D$ ，E 分别是 $A C$ ， $A B$ 上的点，且 $D E / / B C, D E=2$ ，将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $\triangle A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C \perp \mathrm{CD}$ ，如图 2.
（1）求证： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 BCDE ；
（2）若 $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，求 $C M$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的大小；
（3）线段 BC 上是否存在点 P ，使平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{DP}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ 垂直？说明理由．

图 1

图2

17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；

| | ＂厨余垃圾＂箱 | ＂可回收物＂箱 | ＂其他垃圾＂箱 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 厨余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
| 可回收物 | 30 | 240 | 30 |

| 其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在＂厨余垃圾＂箱、＂可回收物＂箱、＂其他垃圾＂箱的投放量分别为 $a, b, c$ ，其中 $a>0, a+b+c=600$ ．当数据 $a, b, c$ 的方差 $s^{2}$ 最大时，写出 $a, b, c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^{2}$ 的值．
（求： $\mathrm{S}^{2}=\frac{1}{\mathrm{n}}\left[\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\left(\mathrm{x}_{2}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\ldots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\overline{\mathrm{x}}$ 为数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots$ ， $x_{n}$ 的平均数）

18．（13 分）已知函数 $f(x)=a x^{2}+1(a>0), g(x)=x^{3}+b x$

（1）若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 $a , b$ 的值；
（2）当 $a^{2}=4 b$ 时，求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(-\infty$ ， －1）上的最大值．

19．（14 分）已知曲线 $C:(5-m) x^{2}+(m-2) y^{2}=8(m \in R)$
（1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围；
②设 $\mathrm{m}=4$ ，曲线 c 与 y 轴的交点为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$（点 A 位于点 B 的上方），直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+4$与曲线 c 交于不同的两点 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ ，直线 $\mathrm{y}=1$ 与直线 BM 交于点 G ．求证： A ， $G, N$ 三点共线。

20．（13 分）设 $A$ 是由 $m \times n$ 个实数组成的 $m$ 行 $n$ 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1 ，且所有数的和为零，记 $s(m, n)$ 为所有这样的数表构成的集合．对于 $A \in S(m, n)$ ，记 $r_{i}(A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和 $(1 \leqslant i \leqslant m), C_{j}$ （A）为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和 $(1 \leqslant j \leqslant n)$ ；记 $K(A)$ 为 $\left|r_{1}(A)\right|, \mid R_{2}(A) \left|, \ldots,|\operatorname{Rm}(\mathrm{A})|,\left|\mathrm{C}_{1}(\mathrm{~A})\right|,\left|\mathrm{C}_{2}(\mathrm{~A})\right|, \ldots,|\mathrm{Cn}(\mathrm{A})|\right.$ 中的最小值。
（1）如表 $A$ ，求 $K$（ $A$ ）的值；

| 1 | 1 | -0.8 |
| :---: | :---: | :---: |
| 0.1 | -0.3 | -1 |

（2）设数表 $A \in S ~(2, ~ 3) ~$ 形如

| 1 | 1 | c |
| :---: | :---: | :---: |
| a | b | -1 |

求 K（A）的最大值；
（3）给定正整数 $t$ ，对于所有的 $A \in S(2,2 t+1)$ ，求 $K(A)$ 的最大值．

1．（5分）已知集合 $A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{(x, y) \mid x \in A, y \in A, x-y \in A\}$ ，则B中所含元素的个数为

2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ）

3．（5分）下面是关于复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 的四个命题：其中的真命题为（ ），
$\mathrm{p}_{1}:|\mathrm{z}|=2$,
$\mathrm{p}_{2}: \mathrm{z}^{2}=2 \mathrm{i}$,
$p_{3}$ ：z的共轭复数为 $1+i$ ，
$p_{4}$ ：z的虚部为 -1 。

4．（5分）设 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为直线 $x= \frac{3 a}{2}$ 上一点，$\triangle F_{2} P F_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则 $E$ 的离心率为（ ）

5．（5分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}+a_{7}=2, a_{5} a_{6}=-8$ ，则 $a_{1}+a_{10}=$（）

6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 $\mathrm{N}(\mathrm{N} \geq 2)$ 和实数 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots$ ，$a_{n}$ ，输出 $A, B$ ，则（ ）

7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

8．（5分）等轴双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，$C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）

9．（5分）已知 $\omega>0$ ，函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上单调递减 ，则实数 $\omega$ 的取值范围是（ ）

10．（5分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{\ln (x+1)-x}$ ，则 $y=f(x)$ 的图象大致为（）