设 a, b, c R, a+b+c=0, a b c=1…——2020 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．
【解析】

【分析】
①由 $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c=0$ 结合不等式的性质，即可得出证明
；
（2）不妨设 $\max \{a, b, c\}=a$ ，由题意得出 $a>0, b, c<0$ ，由
$a^{3}=a^{2} \cdot a=\frac{(b+c)^{2}}{b c}=\frac{b^{2}+c^{2}+2 b c}{b c}$ ，结合基本不等式，即可得出证明．
【详解】①$\because(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c=0$ ，
$\therefore a b+b c+c a=-\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$ ．
$\because a, b, c$ 均不为 0 ，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}>0, \therefore a b+b c+c a=-\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)<0$ ；
（2）不妨设 $\max \{a, b, c\}=a$ ，

由 $a+b+c=0, a b c=1$ 可知，$a>0, b<0, c<0$ ，
$\because a=-b-c, a=\frac{1}{b c}, \quad \therefore a^{3}=a^{2} \cdot a=\frac{(b+c)^{2}}{b c}=\frac{b^{2}+c^{2}+2 b c}{b c} \geq \frac{2 b c+2 b c}{b c}=4$ ．
当且仅当 $b=c$ 时，取等号，
$\therefore a \geq \sqrt[3]{4}$ ，即 $\max \{a, b, c\} \ldots \sqrt[3]{4}$ ．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．