2020 新课标 III 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{1,2,3,5,7,11\}, B=\{x \mid 3

2．若 $\bar{z}(1+i)=1-i$ ，则 $z=$

3．设一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的方差为 0.01 ，则数据 $10 x_{1}, 10 x_{2}, \ldots, 10 x_{n}$ 的方差为

4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)\left(t\right.$ 的单位：天）的Logistic模型：$I(t)=\frac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}$ ，其中 $K$ 为最大确诊病例数．当 $I\left(t^{*}\right)=0.95 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为 $(\ln 19 \approx 3)$

5．已知 $\sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=1$ ，则 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=$

6．在平面内，$A, B$ 是两个定点，$C$ 是动点，若 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=1$ ，则点 $C$ 的轨迹为（ ）

7．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点，若 $O D \perp O E$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（ ）

8．点 $(0,-1)$ 到直线 $y=k(x+1)$ 距离的最大值为（ ）

9．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

10．设 $a=\log _{3} 2, b=\log _{5} 3, c=\frac{2}{3}$ ，则（ ）

11．在 $\triangle A B C$ 中， $\cos C=\frac{2}{3}, A C=4, B C=3$ ，则 $\tan B=$（ ）

12．已知函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$ ，则

13．若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y \geq 0, \\ 2 x-y \geq 0, \\ x \leq 1,\end{array}\right.$ 则 $z=3 x+2 y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

14．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$(a>0, b>0)$ 的一条渐近线为 $y=\sqrt{2} x$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$ ．

15．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+a}$ ．若 $f^{\prime}(1)=\frac{e}{4}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

16．已知圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为 $\_\_\_\_$。

17．设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=4, a_{3}-a_{1}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{\log _{3} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}+S_{m+1}=S_{m+3}$ ，求 $m$ ．

18．某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次 ，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 $1,2,3,4$ 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2 ，则称这天＂空气质量好＂；若某天的空气质量等级为 3 或 4 ，则称这天＂空气质量不好＂。根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表，判断是否有 $95 \%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

19．如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别在棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 上，且 $2 D E=E D_{1}$ ，$B F=2 F B_{1}$ ．证明：

（1）当 $A B=B C$ 时，$E F \perp A C$ ；
（2）点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内．

20．已知函数 $f(x)=x^{3}-k x+k^{2}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2-t-t^{2}, \\ y=2-t+t^{2}\end{array}(t\right.$ 为参数且 $t \neq 1), C$ 与坐标轴交于 $A, B$ 两点．
（1）求 $|A B|$ ：
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 $A B$ 的极坐标方程．

23．设 $a, b, c \in R, a+b+c=0, a b c=1$ ．
（1）证明：$a b+b c+c a<0$ ；
（2）用 $\max \{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 中的最大值，证明： $\max \{a, b, c\} \geq \sqrt[3]{4}$ ．