（21）本小题满分 12 分） 设函数 f_ (x) =x…——2010 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：
（I）$a=\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=x\left(e^{x}-1\right)-\frac{1}{2} x^{2}, f^{\prime}(x)=e^{x}-1+x e^{x}-x=\left(e^{x}-1\right)(x+1)$ 。
当 $x \in(-\infty,-1)$ 时 $f^{\prime}(x)>0$ ；当 $x \in(-1,0)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ；当 $x \in(0,+\infty)$ 时， $f^{\prime}(x)>0$ 。故 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1),(0,+\infty)$ 单调增加，在 $(-1,0)$ 单调减少。
（II）$f(x)=x\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1-\mathrm{ax}\right)$ 。令 $g(x)=\mathrm{x}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1-\mathrm{ax}\right)$ ，则 $g^{\prime}(x)=e^{x}-a$ 。
若 $a \leq 1$ ，则当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 为增函数，而 $g(0)=0$ ，从而当 $\mathrm{x} \geq$ 0 时 $g(x) \geq 0$ ，即 $f(x) \geq 0$ ．

若 $a>1$ ，则当 $x \in(0, \ln a)$ 时，$g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 为减函数，而 $g(0)=0$ ，从而当 $x \in(0, \ln a)$ 时 $g(x)<0$ ，即 $f(x)<0$ ．

综合得 $a$ 的取值范围为 $(-\infty, 1]$