设抛物线 C : y ^ 2 = 2 p x ( p >…——2022 高考数学第 20 题答案解析

【答案】① $y ^ { 2 } = 4 x$ ；

> ② $A B : x = { \sqrt { 2 } } y + 4$

【解析】

【分析】①由抛物线的定义可得 $\big | M F \big | = p + \frac { p } { 2 }$ ，即可得解；

（2）法一：设点的坐标及直线 $M N : x = m y + 1$ ，由韦达定理及斜率公式可得 $k _ { _ { M N } } = 2 k _ { _ { A B } }$ ，再由差角的正切公式及基本不等式可得 $k _ { _ { A B } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，设直线 $A B : x = { \sqrt { 2 } } y + n$ ，结合韦达定理可解.

【小问1详解】

抛物线的准线为 $x = - { \frac { p } { 2 } }$ ，当MD 与x轴垂直时，点M的横坐标为 $p ,$

此时 $\big | M F \big | = p + \frac { p } { 2 } = 3$ ，所以 $p = 2$

所以抛物线 C 的方程为 $y ^ { 2 } = 4 x$ ；

【小问2详解】

设 $M \Bigg ( \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 1 } \Bigg ) , N \Bigg ( \frac { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 2 } \Bigg ) , A \Bigg ( \frac { y _ { 3 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 3 } \Bigg ) , B \Bigg ( \frac { y _ { 4 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 4 } \Bigg )$ ，直线 $M N : x = m y + 1$

由 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = m y + 1 } \\ { y ^ { 2 } = 4 x } \end{array} \right.$ 可得 $y ^ { 2 } - 4 m y - 4 = 0 , \Delta > 0 , y _ { 1 } y _ { 2 } = - 4$

由斜率公式可得 $k _ { \scriptscriptstyle M N } = \frac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { \displaystyle \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } } = \frac { 4 } { y _ { 1 } + y _ { 2 } } \ , \ k _ { \scriptscriptstyle A B } = \frac { y _ { 3 } - y _ { 4 } } { \displaystyle \frac { y _ { 3 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { y _ { 4 } ^ { 2 } } { 4 } } = \frac { 4 } { y _ { 3 } + y _ { 4 } }$

直线 $M D : x = \frac { x _ { 1 } - 2 } { y _ { 1 } } \cdot y + 2$ ，代入抛物线方程可得 $y ^ { 2 } - { \frac { 4 { \bigl ( } x _ { 1 } - 2 { \bigr ) } } { y _ { 1 } } } \cdot y - 8 = 0$

$\Delta > 0 , y _ { 1 } y _ { 3 } = - 8$ ，所以 $y _ { 3 } = 2 y _ { 2 }$ ，同理可得 $y _ { 4 } = 2 y _ { 1 }$

所以 $k _ { _ { A B } } = \frac { 4 } { y _ { 3 } + y _ { 4 } } = \frac { 4 } { 2 \left( y _ { 1 } + y _ { 2 } \right) } = \frac { k _ { _ { M N } } } { 2 }$

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 $\alpha , \beta$ ，所以 $k _ { _ { A B } } = \tan \beta = \frac { k _ { _ { M N } } } { 2 } = \frac { \tan \alpha } { 2 }$

若要使 $\alpha - \beta$ 最大，则 $\beta \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，设 $k _ { \scriptscriptstyle M N } = 2 k _ { \scriptscriptstyle A B } = 2 k > 0$ ，则

$$ \tan \left( \alpha - \beta \right) = { \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \tan \beta } } = { \frac { k } { 1 + 2 k ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { k } } + 2 k } } \leq { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { { \frac { 1 } { k } } \cdot 2 k } } } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } , $$

当且仅当 ${ \frac { 1 } { k } } = 2 k$ 即 $k = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ 时，等号成立，

所以当 $\alpha - \beta$ 最大时， $k _ { _ { A B } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，设直线 $A B : x = { \sqrt { 2 } } y + n$

代入抛物线方程可得 $y ^ { 2 } - 4 \sqrt { 2 } y - 4 n = 0$

$\Delta > 0 , y _ { 3 } y _ { 4 } = - 4 n = 4 y _ { 1 } y _ { 2 } = - 1 6$ ，所以 $n = 4$

所以直线 $A B : x = { \sqrt { 2 } } y + 4$

**方法二**：直线方程点斜式

由题可知，直线MN的斜率存在.

设 $M \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , N \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) , A \left( x _ { 3 } , y _ { 3 } \right) , B \left( x _ { 4 } , y _ { 4 } \right)$ ,直线 $M N : y = k \left( x - 1 \right)$

由 $\left\{ \begin{array} { l l } { y = k ( x - 1 ) } \\ { y ^ { 2 } = 4 x } \end{array} \right.$ 得： $k ^ { 2 } x ^ { 2 } - \left( 4 k ^ { 2 } + 4 \right) x + 4 k ^ { 2 } = 0 , x _ { 1 } x _ { 2 } = 4$ ,同理， $y _ { 1 } y _ { 2 } = - 4$

直线 $M D ; y = { \frac { y _ { 1 } } { x _ { 1 } - 2 } } ( x - 2 )$ ,代入抛物线方程可得： $x _ { 1 } x _ { 3 } = 4$ ，同理， $x _ { 2 } x _ { 4 } = 4$

代入抛物线方程可得: $y _ { 1 } y _ { 3 } = - 8$ ,所以 $y _ { 3 } = 2 y _ { 2 }$ ，同理可得 $y _ { 4 } = 2 y _ { 1 }$

由斜率公式可得： $k _ { \scriptscriptstyle A B } = \frac { y _ { 4 } - y _ { 3 } } { x _ { 4 } - x _ { 3 } } = \frac { 2 \big ( y _ { 2 } - y _ { 1 } \big ) } { 4 \bigg ( \displaystyle \frac { 1 } { x _ { 2 } } - \displaystyle \frac { 1 } { x _ { 1 } } \bigg ) } = \frac { y _ { 2 } - y _ { 1 } } { 2 \big ( x _ { 2 } - x _ { 1 } \big ) } = \frac 1 2 k _ { \scriptscriptstyle A N } .$

（下同方法一）若要使a b- 最大，则 $\beta \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$

设 $k _ { \scriptscriptstyle M N } = 2 k _ { \scriptscriptstyle A B } = 2 k > 0$ ，则 $\tan \left( \alpha - \beta \right) = { \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \tan \beta } } = { \frac { k } { 1 + 2 k ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { k } } + 2 k } } \leq { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { { \frac { 1 } { k } } \cdot 2 k } } } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } ,$

当且仅当 ${ \frac { 1 } { k } } = 2 k$ 即 $k = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ 时，等号成立，

所以当a b- 最大时， $k _ { _ { A B } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，设直线 $A B : x = { \sqrt { 2 } } y + n$

代入抛物线方程可得 $y ^ { 2 } - 4 \sqrt { 2 } y - 4 n = 0 , ~ \Delta > 0 , { y _ { 3 } } { y _ { 4 } } = - 4 n = 4 y _ { 1 } y _ { 2 } = - 1 6$ ，所以n = 4，所以直线$A B : x = { \sqrt { 2 } } y + 4$

**方法三**：三点共线

设 $M \Bigg ( \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 1 } \Bigg ) , N \Bigg ( \frac { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 2 } \Bigg ) , A \Bigg ( \frac { y _ { 3 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 3 } \Bigg ) , B \Bigg ( \frac { y _ { 4 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 4 } \Bigg )$

设P(t,0),若 P、M、N三点共线，由 $\overrightarrow { P M } = \left( \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - t , y _ { 1 } \right) , \overrightarrow { P N } = \left( \frac { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } - t , y _ { 2 } \right)$

所以 $\left( \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - t \right) y _ { 2 } = \left( \frac { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } - t \right) y _ { 1 }$ ，化简得 $y _ { 1 } y _ { 2 } = - ~ 4 t$

反之，若 $y _ { 1 } y _ { 2 } = - ~ 4 t$ , 可得 MN 过定点(t,0)

因此，由M_、 N_、 F三点共线，得 $y _ { 1 } y _ { 2 } = - 4$

由M_、 D_、 A三点共线，得 $y _ { 1 } y _ { 3 } = - 8$

由N_、 D_、 B三点共线，得 $y _ { 2 } y _ { 4 } = - 8$

则 $y _ { 3 } y _ { 4 } = 4 y _ { 1 } y _ { 2 } = - 1 6$ _， AB 过定点（4,0）

（下同方法一）若要使a b- 最大，则 $\beta \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$

设 $k _ { \scriptscriptstyle M N } = 2 k _ { \scriptscriptstyle A B } = 2 k > 0$ ，则 $\tan \left( \alpha - \beta \right) = { \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \tan \beta } } = { \frac { k } { 1 + 2 k ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { k } } + 2 k } } \leq { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { { \frac { 1 } { k } } \cdot 2 k } } } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } \quad \alpha \neq \beta$

当且仅当 ${ \frac { 1 } { k } } = 2 k$ 即 $k = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ 时，等号成立，

所以当 $\alpha - \beta$ 最大时， $k _ { _ { A B } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，所以直线 $A B : x = { \sqrt { 2 } } y + 4$

【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线MN AB, 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法