2023_全国甲卷
22. 已知点P(2,1)，直线 $l : \left\{ \begin{array} { l } { { x = 2 + t \mathrm { c o s } \alpha , } } \\ { { y = 1 + t \mathrm { s i n } \alpha } } \end{array} \right.$ （t为参数），a为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A B, ，且 $\left| P A \right| \cdot \left| P B \right| = 4$
（1）求a；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程
(1) $\frac { 3 \pi } { 4 }$ >; (2) $\rho \cos \alpha + \rho \sin \alpha - 3 = 0$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】① $\frac { 3 \pi } { 4 }$
> ② $\rho \cos \alpha + \rho \sin \alpha - 3 = 0$
【解析】
【分析】（1）根据t的几何意义即可解出；
（2）求出直线l的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出
【小问 1 详解】
因为l与x 轴，y轴正半轴交于A B, 两点，所以 $\frac { \pi } { 2 } < \alpha < \pi$
$x = 0 , t _ { 1 } = - \frac { 2 } { \cos \alpha }$ ，令 y = 0 ， $t _ { 2 } = - { \frac { 1 } { \sin \alpha } }$
所以 $\left| P A \right| \left| P B \right| = \left| t _ { 2 } t _ { 1 } \right| = \frac { 2 } { \sin \alpha \cos \alpha } \Biggr | = \Biggr | \frac { 4 } { \sin 2 \alpha } \Biggr | = 4$ ，所以 $\sin 2 \alpha = \pm 1$
即 $2 \alpha = \frac { \pi } { 2 } + k \pi$ ，解得 $\alpha = \frac { \pi } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } k \pi , k \in \mathbf { Z }$
因为 $\frac { \pi } { 2 } < \alpha < \pi$ ，所以 $\alpha = \frac { 3 \pi } { 4 }$
【小问2详解】
由①可知，直线l的斜率为 $\tan \alpha = - 1$ ，且过点(2,1),
所以直线l的普通方程为： $y - 1 = - { \bigl ( } x - 2 { \bigr ) }$ ，即 $x + y - 3 = 0$
由 $x = \rho \cos \alpha , y = \rho \sin \alpha$ 可得直线l的极坐标方程为 $\rho \cos \alpha + \rho \sin \alpha - 3 = 0$