方程 log _ 2 (9^ x-1 -5 )=log _…——2015 高考数学第 8 题答案解析

2015_上海卷 (2015·文)

2015 上海第 8 题解答题区分题

8．方程 $\log _{2}\left(9^{x-1}-5\right)=\log _{2}\left(3^{x-1}-2\right)+2$ 的解为

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【答案】 2

【解析】依题意 $\log _{2}\left(9^{x-1}-5\right)=\log _{2}\left(4 \cdot 3^{x-1}-8\right)$ ，所以 $9^{x-1}-5=4 \cdot 3^{x-1}-8$ ，

令 $3^{x-1}=t(t>0)$ ，所以 $t^{2}-4 t+3=0$ ，解得 $t=1$ 或 $t=3$ ，

当 $t=1$ 时， $3^{x-1}=1$ ，所以 $x=1$ ，而 $9^{1-1}-5<0$ ，所以 $x=1$ 不合题意；舍去；

当 $t=3$ 时， $3^{x-1}=3$ ，所以 $x=2,9^{2-1}-5=4>0,3^{2-1}-2=1>0$ ，所以 $x=2$ 满足条件，所以 $x=2$ 是原方程的解．

【考点定位】对数方程．

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题目指纹

核心知识

函数与方程

核心考法

换元法

关键能力

应用导数与函数

最容易错

定义域忽略漏解

难度

区分题

先及格路线 · 函数与方程 · 中等题

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