2015 上海卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．函数 $f(x)=1-3 \sin ^{2} x$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ ．

2．设全集 $U=\mathrm{R}$．若集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\{x \mid 2 \leq x<3\}$，则 $A \cap\left(C_{U} B\right)=$ $\_\_\_\_$

3．若复数 $z$ 满足 $3 z+\bar{z}=1+i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x)=\frac{x}{2 x+1}$ 的反函数，则 $f^{-1}(2)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．若线性方程组的增广矩阵为 $\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & c_{1} \\ 0 & 1 & c_{2}\end{array}\right)$ 解为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=5\end{array}\right.$ ，则 $c_{1}-c_{2}=$

6．若正三棱柱的所有棱长均为 $a$ ，且其体积为 $16 \sqrt{3}$ ，则 $a=$

7．抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 上的动点 $Q$ 到焦点的距离的最小值为 1 ，则 $p=$

8．方程 $\log _{2}\left(9^{x-1}-5\right)=\log _{2}\left(3^{x-1}-2\right)+2$ 的解为

9．若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geq 0 \\ x+y \leq 2, \text { 则目标函数 } z=x+2 y \text { 的最大值为 } \\ y \geq 0\end{array}\right.$ $\_\_\_\_$ ．

10. 在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 $\_\_\_\_$ （结果用数值表示）。

11．在 $\left(2 x+\frac{1}{x^{2}}\right)^{6}$ 的二项式中，常数项等于 $\_\_\_\_$ （结果用数值表示）。

12．已知双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的顶点重合，$C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，若 $C_{2}$ 的一条渐近线的斜率是 $C_{1}$ 的一条渐近线的斜率的2倍，则 $C_{2}$ 的方程为 $\_\_\_\_$．

13．已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} \perp \vec{b}$，且 $\{|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{c}|\}=\{1,2,3\}$，则 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的最大值是 $\_\_\_\_$．

14．已知函数 $f(x)=\sin x$ ．若存在 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$ 满足 $0 \leq x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m} \leq 6 \pi$ ，且 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|+\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{3}\right)\right|+\cdots+\left|f\left(x_{m-1}\right)-f\left(x_{m}\right)\right|=12\left(m \geq 2, m \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则 $m$的最小值为

15．设 $z_{1}, z_{2} \in \mathbf{C}$，则＂$z_{1}, z_{2}$ 均为实数＂是＂$z_{1}-z_{2}$ 是实数＂的．

16．下列不等式中，与不等式 $\frac{x+8}{x^{2}+2 x+3}<2$ 解集相同的是（）。

17. $A$ 的坐标为 $(4 \sqrt{3}, 1)$ ，将 $O A$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{3}$ 至 $O B$ ，则点 $B$ 的纵坐标为 ）．

18. 设 $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ 是直线 $2 x-y=\frac{n}{n+1}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 在第一象限的交点，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{y_{n}-1}{x_{n}-1}=$ ．

19．（本题满分 12 分）如图，圆锥的顶点为 $P$ ，底面的一条直径为 $A B, C$ 为半圆弧 $A B$ 的中点，$E$ 为劣弧 $C B$ 的中点．已知 $P O=2, O A=1$ ，求三棱锥 $P-A O C$ 的体积，并求异面直线 $P A$ 与 $O E$ 所成角的大小． 

20．（本题满分 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分． 已知函数 $f(x)=a x^{2}+\frac{1}{x}$，其中 $a$ 为实数． （1）根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由； （2）若 $a \in(1,3)$，判断函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的单调性，并说明理由．

21．（本小题14分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分． 如图，$O, P, Q$ 三地有直道相通，$O Q=5$ 千米，$O P=3$ 千米，$P Q=4$ 千米．现甲、乙两警员同时从 $O$ 地出发匀速前往 $Q$ 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f(t)$（单位：千米） ．甲的路线是 $O Q$ ，速度为 5 千米／小时，乙的路线是 $O P Q$ ，速度为 8 千米／小时．乙到达 $Q$地后原地等待．设 $t=t_{1}$ 时乙到达 $P$ 地；$t=t_{2}$ 时，乙到达 $Q$ 地． （1）求 $t_{1}$ 与 $f\left(t_{1}\right)$ 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当 $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $\left[t_{1}, t_{2}\right]$ 上得最大值是否超过 3 ？说明理由．