2022_新课标II卷
17. 已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列， $\left\{ b _ { n } \right\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a _ { 2 } - b _ { 2 } = a _ { 3 } - b _ { 3 } = b _ { 4 } - a _ { 4 }$
（1）证明： $a _ { 1 } = b _ { 1 }$ ；
（2）求集合 $\left\{ k \big | b _ { k } = a _ { m } + a _ { 1 } , 1 \leq m \leq 5 0 0 \right\}$ 中元素个数
(1) 证明见解析; (2) 9
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）证明见解析；
（2）9
【解析】
【分析】①设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 $d$ ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 $m = 2 ^ { k - 2 }$ ，即可解出
【小问1详解】
设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 $d$ ，所以， $\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } + d - 2 b _ { 1 } = a _ { 1 } + 2 d - 4 b _ { 1 } } \\ { a _ { 1 } + d - 2 b _ { 1 } = 8 b _ { 1 } - \left( a _ { 1 } + 3 d \right) } \end{array} \right.$ ，即可解得， $b _ { 1 } = a _ { 1 } = \frac { d } { 2 }$ ，所以原命题得证
【小问 2 详解】
由①知， $b _ { 1 } = a _ { 1 } = \frac { d } { 2 }$ ，所以 $b _ { k } = a _ { m } + a _ { 1 } \Longleftrightarrow b _ { 1 } \times 2 ^ { k - 1 } = a _ { 1 } + \left( m - 1 \right) d + a _ { 1 }$ ，即 $2 ^ { k - 1 } = 2 m$ ，亦即$m = 2 ^ { k - 2 } \in [ 1 , 5 0 0 ]$ ，解得 $2 \leq k \leq 1 0$ ，所以满足等式的解 $k = 2 , 3 , 4 , \cdots , 1 0$ ，故集合$\left\{ k \ : | \ : b _ { k } = a _ { m } + a _ { 1 } , 1 \leq m \leq 5 0 0 \right\}$ 中的元素个数为 $1 0 - 2 + 1 = 9$