2024_全国甲卷
15. 已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n }$ ，且 $2 S _ { n } = 3 a _ { n + 1 } - 3$
（1）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{ S _ { n } \right\}$ 通项公式.的
(1) $a _ { n } = \left( { \frac { 5 } { 3 } } \right) ^ { n - 1 }$ >; (2) ${ \frac { 3 } { 2 } } \left( { \frac { 5 } { 3 } } \right) ^ { n } - { \frac { 3 } { 2 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $a _ { n } = \left( { \frac { 5 } { 3 } } \right) ^ { n - 1 }$
> ② ${ \frac { 3 } { 2 } } \left( { \frac { 5 } { 3 } } \right) ^ { n } - { \frac { 3 } { 2 } }$
【解析】
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用等比数列的求和公式可求 $S _ { n }$ .
【小问1详解】
因为 $2 S _ { n } = 3 a _ { n + 1 } - 3 , \# 2 S _ { n - 1 } = 3 a _ { n } - 3$
所以 $2 a _ { n } = 3 a _ { n + 1 } - 3 a _ { n } \left( n \geq 2 \right)$ 即 $5 a _ { n } = 3 a _ { n + 1 }$ 故等比数列的公比为 $q = \frac { 5 } { 3 }$
故 $2 a _ { 1 } = 3 a _ { 2 } - 3 = 3 a _ { 1 } \times \frac { 5 } { 3 } - 3 = 5 a _ { 1 } - 3$ ，故 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 1$ ，故 $a _ { n } = \left( { \frac { 5 } { 3 } } \right) ^ { n - 1 }$
【小问 2 详解】
由等比数列求和公式得 $S _ { n } = { \frac { 1 \times { \left[ 1 - { \left( { \frac { 5 } { 3 } } \right) } ^ { n } \right] } } { 1 - { \frac { 5 } { 3 } } } } = { \frac { 3 } { 2 } } { \left( { \frac { 5 } { 3 } } \right) } ^ { n } - { \frac { 3 } { 2 } }$