（本小题满分 10 分） 已知 ABC 的三边长都是有理数…——2010 高考数学第 24 题答案解析

［解析］
本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分 10 分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为 $a, b, c, \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}, \because a, b, c$ 是有理数， $b^{2}+c^{2}-a^{2}$ 是有理数，分母 $2 b c$ 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，

$$ \therefore \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \text { 必为有理数, } \therefore \cos \mathrm{A} \text { 是有理数。 } $$

> （2）①当 $n=1$ 时，显然 $\cos \mathrm{A}$ 是有理数；
当 $n=2$ 时，$\because \cos 2 A=2 \cos ^{2} A-1$ ，因为 $\cos \mathrm{A}$ 是有理数，$\therefore \cos 2 A$ 也是有理数；
> （2）假设当 $n \leq k(k \geq 2)$ 时，结论成立，即 $\operatorname{coskA} , \cos (k-1) A$ 均是有理数。

当 $n=k+1$ 时， $\cos (k+1) A=\cos k A \cos A-\sin k A \sin A$ ，

$$ \begin{aligned} & \cos (k+1) A=\cos k A \cos A-\frac{1}{2}[\cos (k A-A)-\cos (k A+A)] \\ & \cos (k+1) A=\cos k A \cos A-\frac{1}{2} \cos (k-1) A+\frac{1}{2} \cos (k+1) A \end{aligned} $$

解得： $\cos (k+1) A=2 \cos k A \cos A-\cos (k-1) A$
∵ $\cos \mathrm{A}, \cos k A, \cos (k-1) A$ 均是有理数，$\therefore 2 \cos k A \cos A-\cos (k-1) A$ 是有理数，
$\therefore \cos (k+1) A$ 是有理数。
即当 $n=k+1$ 时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数 $\mathrm{n}, \operatorname{cosn} \mathrm{A}$ 是有理数。
（方法二）证明：①由 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC} , \mathrm{AC}$ 为有理数及余弦定理知

$$ \cos A=\frac{A B^{2}+A C^{2}-B C^{2}}{2 A B \cdot A C} \text { 是有理数。 } $$

> （2）用数学归纳法证明 $\cos n \mathrm{~A}$ 和 $\sin A \cdot \sin n A$ 都是有理数。
> ①当 $n=1$ 时，由①知 $\cos A$ 是有理数，从而有 $\sin A \cdot \sin A=1-\cos ^{2} A$ 也是有理数
> （2）假设当 $n=k(k \geq 1)$ 时， $\cos k A$ 和 $\sin A \cdot \sin k A$ 都是有理数。
当 $n=k+1$ 时，由 $\cos (k+1) A=\cos A \cdot \cos k A-\sin A \cdot \sin k A$ ， $\sin A \cdot \sin (k+1) A=\sin A \cdot(\sin A \cdot \cos k A+\cos A \cdot \sin k A)=(\sin A \cdot \sin A) \cdot \cos k A+(\sin A \cdot \sin k A) \cdot \cos A$

及①和归纳假设，知 $\cos (k+1) A$ 和 $\sin A \cdot \sin (k+1) A$ 都是有理数。
即当 $n=k+1$ 时，结论成立。
综合①、（2）可知，对任意正整数 $\mathrm{n}, ~ \operatorname{cosn} \mathrm{~A}$ 是有理数。