已知函数 y = f ( x ) 的图像是折线段ABC，其…——2012 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $\frac { 1 } { 4 }$

【解析】根据题意，得到 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 2 x , 0 \leq x \leq \frac { 1 } { 2 } } \\ { \displaystyle - 2 x + 2 , \frac { 1 } { 2 } \prec x \leq 1 } \end{array} \right.$

从而得到 $y = x f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x ^ { 2 } , 0 \leq x \leq \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } \\ { - 2 x ^ { 2 } + 2 x , \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \prec x \leq 1 } \end{array} \right.$ 所以围成的面积为

$S = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } 2 x d x + \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } ( - 2 x ^ { 2 } + 2 x ) d x = { \frac { 1 } { 4 } }$ ，所以围成的图形的面积为 $\frac 1 4$

【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.