2017_新课标 II 卷 (2017·文)
22．（10分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \theta=4$ ．
① M 为曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 $|\mathrm{OM}| \cdot|\mathrm{OP}|=16$ ，求点 P 的轨迹 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程；
②设点 A 的极坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ ，点 B 在曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 上，求 $\triangle \mathrm{OAB}$ 面积的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】①设 $P(x, y)$ ，利用相似得出 $M$ 点坐标，根据 $|O M| \bullet|O P|=16$ 列方程化简即可；
（2）求出曲线 $C_{2}$ 的圆心和半径，得出 $B$ 到 $O A$ 的最大距离，即可得出最大面积．
【解答】解：（1）曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的直角坐标方程为： $\mathrm{x}=4$ ，
设 $P(x, y), M\left(4, y_{0}\right)$ ，则 $\frac{x}{4}=\frac{y}{y_{0}}, \therefore y_{0}=\frac{4 y}{x}$ ，
$\because|\mathrm{OM}||\mathrm{OP}|=16$ ，
$\therefore \sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}} \sqrt{16+\mathrm{y}_{0}{ }^{2}}=16$ ，
即 $\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=16$ ，
$\therefore x^{4}+2 x^{2} y^{2}+y^{4}=16 x^{2}$ ，即 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=16 x^{2}$ ，
两边开方得：$x^{2}+y^{2}=4 x$ ，
整理得：$(x-2)^{2}+y^{2}=4(x \neq 0)$ ，
∴ 点 P 的轨迹 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程：$(\mathrm{x}-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}=4(\mathrm{x} \neq 0)$ ．
（2）点 A 的直角坐标为 $\mathrm{A}(1, \sqrt{3})$ ，显然点 A 在曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 上，$|\mathrm{OA}|=2$ ，
∴ 曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的圆心（ 2,0 ）到弦 OA 的距离 $\mathrm{d}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{AOB}$ 的最大面积 $\mathrm{S}=\frac{1}{2}|\mathrm{OA}| \cdot(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$ ．
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．