（5 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C:…——2019 高考数学第 8 题答案解析

【分析】将 $x$ 换成 $-x$ 方程不变，所以图形关于 $y$ 轴对称，根据对称性讨论 $y$ 轴右边的图形可得。

【解答】解：将 $x$ 换成 $-x$ 方程不变，所以图形关于 $y$ 轴对称，
当 $x=0$ 时，代入得 $y^{2}=1, \therefore y= \pm 1$ ，即曲线经过 $(0,1),(0,-1)$ ；
当 $x>0$ 时，方程变为 $y^{2}-x y+x^{2}-1=0$ ，所以 $\triangle=x^{2}-4\left(x^{2}-1\right) \geqslant 0$ ，解得 $x \in(0$ ， $\left.\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$,

所以 $x$ 只能取整数 1 ，当 $x=1$ 时，$y^{2}-y=0$ ，解得 $y=0$ 或 $y=1$ ，即曲线经过 $(1,0)$ ，

$(1,1)$ ，
根据对称性可得曲线还经过 $(-1,0),(-1,1)$ ，
故曲线一共经过 6 个整点，故①正确．
当 $x>0$ 时，由 $x^{2}+y^{2}=1+x y$ 得 $x^{2}+y^{2}-1=x y \leqslant \frac{x^{2}+y^{2}}{2}$ ，（当 $x=y$ 时取等），
$\therefore x^{2}+y^{2} \leqslant 2, \therefore \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant \sqrt{2}$ ，即曲线 $C$ 上 $y$ 轴右边的点到原点的距离不超过 $\sqrt{2}$ ，根据对称性可得：曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$ ；故②正确．

在 $x$ 轴上图形面积大于矩形面积 $=1 \times 2=2, x$ 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积 $=\frac{1}{2} \times 2 \times 1=1$ ，因此曲线 $C$ 所围成的＂心形＂区域的面积大于 $2+1=3$ ，故③错误．

故选：$C$ ．

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．