（16）（本小题共14分） 如图，在三棱锥 P-A B C…——2008 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（共14分）
解法一：
（ I ）取 $A B$ 中点 $D$ ，连结 $P D, C D$ ．
$\because A P=B P$ ，
$\therefore P D \perp A B$ ．

$\because A C=B C$.
$\therefore C D \perp A B$ ．
$\because P D \cap C D=D$.
$\therefore A B \perp$ 平面 $P C D$ ．
$\because P C \subset$ 平面 $P C D$ ，
$\therefore P C \perp A B$ ．
（II）$\because A C=B C, A P=B P$ ，
$\therefore \triangle A P C \cong \triangle B P C$ ．
又 $P C \perp A C$ ，
$\therefore P C \perp \mathrm{BC}$ ．
又 $\angle A C B=90^{\circ}$ ，即 $A C \perp \mathrm{BC}$ ，
且 $A C \cap P C=C$ ，
$\therefore \mathrm{BC} \perp$ 平面 $P A C$
取 AP 中点 E ，连接 $\mathrm{BE}, \mathrm{CE}$
$\because \mathrm{AB}=\mathrm{BP}$
$\therefore B E \perp A P$ ．
$\because E C$ 是 $B E$ 在平面 $P A C$ 内的射影，
$\therefore C E \perp A P$ ．
$\therefore \angle B E C$ 是二面角 $B-A P-C$ 的平面角．
在 $\triangle B C E$ 中，$\angle B C E=90^{\circ}, B C=2, B E=\frac{\sqrt{3}}{2} A B=\sqrt{6}$ ，
$\therefore \sin \angle B E C=\frac{B C}{B E}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
∴ 二面角 $B-A P-C$ 的大小为 $\operatorname{aresin} \frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
解法二：
（ I ）$\because A C=B C, A P=B P$ ，
$\therefore \triangle A P C \cong \triangle B P C$ ．
又 $P C \perp A C$ ．
$\therefore P C \perp B C$ ．
$\because A C \cap B C=C$ ，
$\therefore P C \perp$ 平面 $A B C$ ．
$\because A B \subset$ 平面 $A B C$ ，
$\therefore P C \perp A B$ ．
（II）如图，以 $C$ 为原点建立空间直角坐标系 $C-x y z$ ．
则 $C(0,0,0), A(0,2,0), B(2,0,0)$ ．
设 $P(0,0, t)$ ，
$\because|P B|=|\mathrm{AB}|=2 \sqrt{2}$ ，

$\therefore t=2, P(0,0,2)$ ．
取 $A P$ 中点 $E$ ，连结 $B E, C E$ ．
$\because|A C|=|P C|,|A B|=|B P|$ ，
$\therefore C E \perp A P, B E \perp A P$ ．
$\therefore \angle B E C$ 是二面角 $B-A P-C$ 的平面角．
$\because E(0,1,1), \overrightarrow{E C}=(0,-1,-1), \overrightarrow{E B}=(2,-1,-1)$ ，
$\therefore \cos \angle B E C=\frac{\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E B}}{|\overrightarrow{E C}| \cdot|\overrightarrow{E B}|}=\frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴ 二面角 $B-A P-C$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．