2008年高考数学真题及答案解析

3．（5分）（2008 • 江苏）若将复数 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 表示为 $\mathrm{a}+\mathrm{bi}(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}, \mathrm{i}$ 是虚数单位）的形式，则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

4．（5分）（2008 • 江苏）若集合 $\mathrm{A}=\left\{\mathrm{x} \mid(\mathrm{x}-1)^{2}<3 \mathrm{x}+7, ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}\right\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{Z}$ 中有 $\_\_\_\_$个元素。

5．（5分）（2008•江苏）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $120^{\circ},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=3$ ，则 $|5 \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|=$ $\_\_\_\_$ ．

6．（ 5 分）（ 2008 •江苏）在平面直角坐标系 $x o y$ 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投点在 E 中的概率是 $\_\_\_\_$。

7．（ 5 分）（ 2008 •江苏）某地区为了解70－80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：$h$ ），随机选择了 50 位老人进行调查，下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表：

在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值为 $\_\_\_\_$ ．

8．（5 分）（2008 • 江苏）设直线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 是曲线 $\mathrm{y}=\ln \mathrm{x}(\mathrm{x}>0)$ 的一条切线，则实数 b 的值为
$\_\_\_\_$。

9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形 ABC 的顶点分别为 $\mathrm{A}(0, \mathrm{a}), \mathrm{B}(\mathrm{b}, 0)$ ， $\mathrm{C}(\mathrm{c}, 0)$ ，点 $\mathrm{P}(0, \mathrm{p})$ 在线段 AO 上的一点（异于端点），这里 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{p}$ 均为非零实数，设直线 $\mathrm{BP}, \mathrm{CP}$ 分别与边 $A C, A B$ 交于点 $E, F$ ，某同学已正确求得直线 $O E$ 的方程为 $\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right) x+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{a}\right) y=0$ ，请你完成直线 $O F$的方程： $\_\_\_\_$ ．

11．（5分）（2008•江苏）设 $x, y, z$ 为正实数，满足 $x-2 y+3 z=0$ ，则 $\frac{y^{2}}{x z}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．

12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a>b>0) ~$ 的焦距为 $2 c$ ，以 $O$ 为圆心，$a$ 为半径作圆 $M$ ，若过 $P\left(\frac{a^{2}}{c}, 0\right)$ 作圆 $M$ 的两条切线相互垂直，则随圆的离心率为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）（2008 •江苏）满足条件 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{AC}=\sqrt{2} \mathrm{BC}$ 的三角形 ABC 的面积的最大值是 $\_\_\_\_$。

14．（5分）（2008•江苏）$f(x)=a x^{3}-3 x+1$ 对于 $x \in[-1,1]$ 总有 $f(x) \geq 0$ 成立，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 $\alpha$ ，$\beta$ ，它们的终边分别交单位圆于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点．已知 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点的横坐标分别是 $\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\tan (\alpha+\beta)$ 的值；
（2）求 $\alpha+2 \beta$ 的值．

16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体 ABCD 中， $\mathrm{CB}=\mathrm{CD}, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BD}$ ，点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别是 $\mathrm{AB}, \mathrm{BD}$ 的中点．求证 ：
（1）直线 $\mathrm{EF} \|$ 面 ACD ；
（2）平面 $\mathrm{EFC} \perp$ 面 BCD ．

17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 及 CD 的中点 P 处。 $\mathrm{AB}= 20 \mathrm{~km}, ~ B C=10 \mathrm{~km}$ 。为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 $\mathrm{AO}, \mathrm{BO}, \mathrm{PO}$ ．记铺设管道的总长度为 ykm ．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设 $\angle \mathrm{BAO}=\theta(\mathrm{rad})$ ，将 y 表示成 $\theta$ 的函数；
（ii）设 $\mathrm{OP}=\mathrm{x}(\mathrm{km})$ ，将 y 表示成 x 的函数；
（2）请你选用①中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+\mathrm{b}(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 与两坐标轴有三个交点。经过三个交点的圆记为C。
（1）求实数 b 的取值范围；
（2）求圆 C 的方程；
（3）问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 的无关）？请证明你的结论。

19．（15分）（2008•江苏）（1）设 $a_{1}, ~ a_{2}, ~ \ldots, ~ a_{n}$ 是各项均不为零的 $n ~(n \geq 4) ~$ 项等差数列，且公差 $d \neq 0$ ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列。
（i）当 $n=4$ 时，求 $\frac{{ }^{a}}{d}$ 的数值；

（ii）求 n 的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数 $n(n \geq 4)$ ，存在一个各项及公差均不为零的等差数列 $b_{1}, ~ b_{2}, ~ \ldots, ~ b_{n}$ ，其中任意三项 （按原来的顺序）都不能组成等比数列。

20．（15分）（2008•江苏）已知函数 $f_{1}(x)=3^{\left|x-p_{1}\right|}, f_{2}(x)=2 \cdot 3^{\left|x-p_{2}\right|}\left(x \in R, p_{1}, p_{2}\right.$ 为常数）．函数 $f(x)$ 定义为：对每个给定的实数 $x, f(x)=\left\{\begin{array}{lll}f_{1}(x) & \text { 若 } f_{1}(x) \leqslant f_{2}(x) \\ f_{2}(x) & \text { 若 } f_{1}(x)>f_{2}(x)\end{array}\right.$
（1）求 $f(x)=f_{1}(x)$ 对所有实数 $x$ 成立的充分必要条件（用 $p_{1}, p_{2}$ 表示）；
②设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 是两个实数，满足 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ ，且 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2} \in(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ 。若 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=\mathrm{f}(\mathrm{b})$ ，求证：函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上的单调增区间的长度之和为 $\frac{b-a}{2}$（闭区间 $[m, n]$ 的长度定义为 $n-m$ ）

21．（2008 • 江苏）如图，$\triangle \mathrm{ABC}$ 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 $\mathrm{E}, ~ \angle \mathrm{BAC}$ 的平分线与 BC 交于点 D ．求证： $\mathrm{ED}^{2}=\mathrm{EB} \bullet \mathrm{EC}$ ．

22．（2008 • 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 $4 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 在矩阵 $\left|\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right|$ 对应的变换作用下得到曲线 F ，求 F 的方程。

23．（2008•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P(x, y)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$ 上的一个动点，求 $S=x+y$ 的最大值．

1．（5分）函数 $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)}+\sqrt{\mathrm{x}}$ 的定义域为

2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是

3．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ．若点 D 满足 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=$（）

5．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=4, a_{3}+a_{5}=10$ ，则它的前 10 项的和 $S_{10}=$（ ）

6．（5分）若函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $f (x)=(\quad)$

7．（5分）已知曲线 $y=\frac{x+1}{x-1}$ 在点 $(3,2)$ 处的切线与直线 $a x+y+1=0$ 垂直，则 $a$ 的值为（）

8．（5分）为得到函数 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象（

9．（5分）设奇函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，且 $f(1)=0$ ，则不等式 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$ 的解集为（ ）

10．（5分）若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 有公共点，则（）

11．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 内的射影为 $\triangle A B C$ 的中心，则 $A B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值等于