2008年高考数学真题及答案解析

2．若 $a=2^{0.5}, b=\log _{\pi} 3, c=\log _{2} \sin \frac{2 \pi}{5}$ ，则（ ）

3．＂函数 $f(x)(x \in \mathbf{R})$ 存在反函数＂是＂函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数＂的（ ）

4．若点 $P$ 到直线 $x=-1$ 的距离比它到点 $(2,0)$ 的距离小 1 ，则点 $P$ 的轨迹为（）

5．若实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0, \\ x+y \geqslant 0, \\ x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $z=3^{x+2 y}$ 的最小值是

6．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 对任意的 $p, q \in \mathbf{N}^{*}$ 满足 $a_{p+q}=a_{p}+a_{q}$ ，且 $a_{2}=-6$ ，那么 $a_{10}$ 等于

）

7．过直线 $y=x$ 上的一点作圆 $(x-5)^{2}+(y-1)^{2}=2$ 的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，当直线 $l_{1}, l_{2}$ 关于 $y=x$ 对称时，它们之间的夹角为（ ）

9．已知 $(a-i)^{2}=2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，那么实数 $a=$ $\_\_\_\_$。

10．已知向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=4$ ，那么 $\boldsymbol{b} \bullet(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

13．已知函数 $f(x)=x^{2}-\cos x$ ，对于 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的任意 $x_{1}, x_{2}$ ，有如下条件：
（1）$x_{1}>x_{2}$ ；
②$x_{1}^{2}>x_{2}^{2}$ ；
③$\left|x_{1}\right|>x_{2}$ ．

其中能使 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$ 恒成立的条件序号是 $\_\_\_\_$ ．

14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 $k$ 棵树种植在点 $P_{k}\left(x_{k}, y_{k}\right)$ 处，其中 $x_{1}=1, y_{1}=1$ ，当 $k \geqslant 2$ 时，

$$ \left\{\begin{array}{l} x_{k}=x_{k-1}+1-5\left[T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right)\right] \\ y_{k}=y_{k-1}+T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right) \end{array}\right. $$

$T(a)$ 表示非负实数 $a$ 的整数部分，例如 $T(2.6)=2, T(0.2)=0$ ．
按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 $\_\_\_\_$ ；第2008棵树种植点的坐标应为 $\_\_\_\_$。

15．（本小题共 13 分）
已知函数 $f(x)=\sin ^{2} \omega x+\sqrt{3} \sin \omega x \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ．
（I）求 $\omega$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的取值范围．

19．（本小题共14分）
已知菱形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上，对角线 $B D$ 所在直线的斜率为 1 ．
（I）当直线 $B D$ 过点 $(0,1)$ 时，求直线 $A C$ 的方程；
（II）当 $\angle A B C=60^{\circ}$ 时，求菱形 $A B C D$ 面积的最大值．

1．若集合$A=\{x|-2\leqslant x\leqslant 3\}\subseteq\mathbb{R}$，$B=\{x|x<-1\text{或}x>4\}$，则集合$A\cap B$等于

（2）若 $a=\log _{3} \pi, b=\log _{7} 6, c=\log _{2} 0.8$ ，则

（3）＂双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$＂是＂双曲线的准线方程为 $x= \pm \frac{9}{5}$＂的

（4）已知 $\triangle A B C$ 中，$a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3}, B=60^{\circ}$ ，那么角 $A$ 等于

（5）函数 $f(x)=(x-1)^{2}+1(x<1)$ 的反函数为

（6）若实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{c}x-y+1 \geqslant 0, \\ +y \geqslant 0, \\ x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $z=x+2 y$ 的最小值是

（7）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=6, a_{5}=15$ ．若 $b_{n}=a_{2 n}$ ，则数列 $\{b \left.{ }_{n}\right\}$ 的前 5 项和等于

（9）若角 $a$ 的终边经过点 $P(1,-2)$ ，则 $\tan 2 a$ 的值为 $\_\_\_\_$。

（10）不等式 $\frac{x-1}{x+2}>1$ 的解集是 $\_\_\_\_$ ．

（11）已知向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $|a|=|b|=4$ ，那么 $a \cdot b$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

11．经过圆 2 22 0x x y  的圆心C，且与直线 0x y 垂直的直线

方程是 ．

17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品2
0件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1
件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为x．
（1）求x的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即x的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．
如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品2
0件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1
件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为x．
（1）求x的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即x的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．
如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

2．（5分）（2008 • 江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 $1,2,3,4,5,6$ 个点的正方体玩具） ，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 $\_\_\_\_$。

3．（5分）（2008 • 江苏）若将复数 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 表示为 $\mathrm{a}+\mathrm{bi}(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}, \mathrm{i}$ 是虚数单位）的形式，则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

4．（5分）（2008 • 江苏）若集合 $\mathrm{A}=\left\{\mathrm{x} \mid(\mathrm{x}-1)^{2}<3 \mathrm{x}+7, ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}\right\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{Z}$ 中有 $\_\_\_\_$个元素。

5．（5分）（2008•江苏）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $120^{\circ},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=3$ ，则 $|5 \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|=$ $\_\_\_\_$ ．

6．（ 5 分）（ 2008 •江苏）在平面直角坐标系 $x o y$ 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投点在 E 中的概率是 $\_\_\_\_$。