2008 北京卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）若集合 $A=\{x \mid-2 \leqslant x \leqslant 3\} \leqslant 3, B=\{x \mid x<-1$ 或 $x>4\}$ ，则集合 $A \cap B$ 等于

（2）若 $a=\log _{3} \pi, b=\log _{7} 6, c=\log _{2} 0.8$ ，则

（3）＂双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$＂是＂双曲线的准线方程为 $x= \pm \frac{9}{5}$＂的

（4）已知 $\triangle A B C$ 中，$a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3}, B=60^{\circ}$ ，那么角 $A$ 等于

（5）函数 $f(x)=(x-1)^{2}+1(x<1)$ 的反函数为

（6）若实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{c}x-y+1 \geqslant 0, \\ +y \geqslant 0, \\ x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $z=x+2 y$ 的最小值是

（7）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=6, a_{5}=15$ ．若 $b_{n}=a_{2 n}$ ，则数列 $\{b \left.{ }_{n}\right\}$ 的前 5 项和等于

（8）如图，动点 $P$ 在正方体 $A B C D$－
$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上，过点 $P$ 作垂直平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的直线，与正方体表面相交于 $M , N$ ．设 $B P=x, M N=y$ ，则函数 $y=f(x)$ 的图象大致是

（9）若角 $a$ 的终边经过点 $P(1,-2)$ ，则 $\tan 2 a$ 的值为 $\_\_\_\_$。

（10）不等式 $\frac{x-1}{x+2}>1$ 的解集是 $\_\_\_\_$ ．

（11）已知向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $|a|=|b|=4$ ，那么 $a \cdot b$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

（13）如图，函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $A B C$ ，其中 $A, B, C$ 的坐标分别为 $(0,4),(2,0),(6,4$ ），则 $f(f(0))=$ $\_\_\_\_$ ；函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数 $f^{\prime} \quad(1)=$ －

（14）已知函数 $f(x)=x^{2}$－ $\cos x$ ，对于 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的任意 $x_{1}, x_{2}$ ，有如下条件：

①$x_{1}>x_{2}$ ；
②$x^{2}{ }_{1}>x^{2}{ }_{2}$ ；
③$\left|x_{1}\right|>x_{2}$ ．

其中能使 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$ 恒成立的条件序号是 $\_\_\_\_$ ．

（15）（本小题共 13 分）
已知函数 $f(x)=\sin ^{2} \omega x+\sqrt{3} \sin \omega x \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)(\omega \succ 0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ．
（I）求 $\omega$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的取值范围．

（16）（本小题共14分）
如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A C=B C=2, \angle A C B=90^{\circ}, A P=B P=A B, P C \perp A C$ ．
（I）求证：$P C \perp A B$ ；
（II）求二面角 $B-A P-C$ 的大小。

（17）（本小题共 13 分）
已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+3 b x+c(b \neq 0)$ ，且 $g(x)=f(x)-2$ 是奇函数．
（I）求 $a, c$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间．

（18）（本小题共 13 分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。
（I）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（II）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

（19）（本小题共14分）
已知 $\triangle A B C$ 的顶点 $A, B$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上， C 在直线 $l: y=x+2$ 上，且 $A B / / l$ ．
（I）当 $A B$ 边通过坐标原点 $O$ 时，求 $A B$ 的长及 $\triangle A B C$ 的面积；
（II）当 $\angle A B C=90^{\circ}$ ，且斜边 $A C$ 的长最大时，求 $A B$ 所在直线的方程．

（20）（本小题共 13 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left(n^{2}+n-\lambda\right) a_{n}(n=1,2, \ldots \ldots), \lambda$ 是常数．
（I）当 $a_{2}=-1$ 时，求 $\lambda$ 及 $a_{3}$ 的值；
（II）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由 ；
（III）求 $\lambda$ 的取值范围，使得存在正整数 $m$ ，当 $n>m$ 时总有 $a_{\mathrm{n}}<0$ ．

## 2008年普通高等学校招生全国统一考试