2013_北京卷 (2013·理)
17．（14分）如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A_{1} A_{1} C$ 是边长为 4 的正方形．平面 $A B C \perp$ 平面 $A A_{1} C_{1} C, A B=3, B C=5$ ．
（I）求证： $\mathrm{AA}_{1} \perp$ 平面 ABC ；
（II）求证二面角 $A_{1}-B C_{1}-B_{1}$ 的余弦值；
（III）证明：在线段 $B C_{1}$ 上存在点 $D$ ，使得 $A D \perp A_{1} B$ ，并求 $\frac{B D}{B C_{1}}$ 的值．
【考点】LW：直线与平面垂直； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（I）利用 $A A_{1} C_{1} C$ 是正方形，可得 $A A_{1} \perp A C$ ，再利用面面垂直的性质即可证明；
（II）利用勾股定理的逆定理可得 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$ ．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；
（III）设点 D 的坚坐标为 $\mathrm{t}, ~(0<\mathrm{t}<4)$ ，在平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 中作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{BC}$ 于 E ，可得 $D\left(t, \frac{3}{4}(4-t), t\right)$ ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．
【解答】（I）证明：$\because A A_{1} C_{1} C$ 是正方形，$\therefore A A_{1} \perp A C$ ．
又 ∵ 平面 $A B C \perp$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，平面 $A B C \cap$ 平面 $A A_{1} C_{1} C=A C$ ，
$\therefore \mathrm{AA}_{1} \perp$ 平面 ABC ．
（II）解：由 $\mathrm{AC}=4, \mathrm{BC}=5, \mathrm{AB}=3$ ．
$\therefore A C^{2}+A B^{2}=B C^{2}, \quad \therefore A B \perp A C$ ．
建立如图所示的空间直角坐标系，则 $\mathrm{A}_{1}(0,0,4), \mathrm{B}(0,3,0), \mathrm{B}_{1}(0,3$ ， 4）， $\mathrm{C}_{1}(4,0,4)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}_{1}}=(4,-3,4), \overrightarrow{\mathrm{BA}_{1}}=(0,-3,4), \overrightarrow{\mathrm{BB}_{1}}=(0,0,4)$ ．
设平面 $A_{1} B C_{1}$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，平面 $B_{1} B C_{1}$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=\left(x_{2}\right.$ ， $\mathrm{y}_{2}, \mathrm{z}_{2}$ ）．
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{B C_{1}}=4 x_{1}-3 y_{1}+4 z_{1}=0 \\ \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{1}}=-3 y_{1}+4 z_{1}=0\end{array}\right.$ ，令 $y_{1}=4$ ，解得 $x_{1}=0, z_{1}=3, \therefore \overrightarrow{n_{1}}=(0,4,3)$ ．
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{B C_{1}}=4 x_{2}-3 y_{2}+4 z_{2}=0 \\ \overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{B B_{1}}=4 z_{2}=0\end{array}\right.$ ，令 $x_{2}=3$ ，解得 $y_{2}=4, z_{2}=0, \therefore \overrightarrow{n_{2}}=(3,4,0)$ ．
$\cos <\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}>=\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right|\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}=\frac{16}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{25}}=\frac{16}{25}$.
∴ 二面角 $A_{1}-B C_{1}-B_{1}$ 的余弦值为 $\frac{16}{25}$ ．
（III）设点 D 的坚坐标为 $\mathrm{t}, ~(0<\mathrm{t}<4)$ ，在平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 中作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{BC}$ 于 E ，可得 $D\left(t, \frac{3}{4}(4-t), t\right)$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\left(t, \frac{3}{4}(4-t), t\right), \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}=(0,3,-4)$ ，
$\because \overrightarrow{\mathrm{AD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}, \quad \therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}=0$ ，
$\therefore 0+\frac{9}{4}(4-t)-4 t=0$ ，解得 $t=\frac{36}{25}$ ．
$\therefore \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}_{1}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{CC}_{1}}=\frac{9}{25}$ ．
【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力。