17．（14分）如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A_{1} A_{1} C$ 是边长为 4 的正方形．平面 $A B C \perp$ 平面 $A A_{1} C_{1} C, A B=3, B C=5$ ．
（I）求证： $\mathrm{AA}_{1} \perp$ 平面 ABC ；
（II）求证二面角 $A_{1}-B C_{1}-B_{1}$ 的余弦值；
（III）证明：在线段 $B C_{1}$ 上存在点 $D$ ，使得 $A D \perp A_{1} B$ ，并求 $\frac{B D}{B C_{1}}$ 的值．
