（20分）真空中存在电场强度大小为 E _ 1 的匀强电场…——2017 高考物理第 12 题答案解析

【考点】39：牛顿运动定律的综合应用；AG：电势差和电场强度的关系

【专题】11：计算题；22：学科综合题；32：定量思想；4C：方程法；532：电场力与电势的性质专题

【分析】（1）分析油滴的运动过程，可知其先进行向上的匀速直线运动，到达A处后因电场强度突然增大而开始做向上的匀加速直线运动，经过 $\mathbf { t } _ { 1 }$ 后电场突然反向，油滴开始做匀减速直线运动，并可能在速度减为零后做反向的匀加速直线运动。对电场增大后的两个过程分别列出牛顿第二定律方程，即可求得两个过程中的加速度，而 $\mathfrak { t } _ { 1 }$ 又是一个已知量，那么直接使用运动学公式即可求出 ${ \tt V } _ { \mathsf { B } }$ 的速度大小；

（2）因为油滴最后可能做反向的匀加速直线运动，因此我们不能确定 B 点的位置究竟在 A 点上方还是 A 点下方，故需要分为两种情况讨论。对其中每一种情况，根据运动学公式列出方程，并与竖直上抛的方程进行联立，即可分别求得两种情况下的场强 $\mathsf { E } _ { 2 }$ 的大小；而根据题意，为求出 $\mathfrak { t } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { v } _ { 0 }$ 满足的条件，只需要使 $E _ { 2 } > \mathsf { E } _ { 1 }$ 即可，那么就可以最终求得 $\mathbf { t } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { v } _ { 0 }$ 间的关系式。

【解答】解：（1）方法一：

设油滴质量为m，带电荷量为q，增大后的电场强度为 $\mathsf { E } _ { 2 }$ ，根据题中条件可以判断电场力与重力方向相反；

对于匀速运动阶段，有 $\mathsf { q E } _ { 1 } \mathsf { = m g \mathrm { . . . } } \textcircled { 1 }$

对于场强突然增大后的第一段 $\mathfrak { t } _ { 1 }$ 时间，由牛顿第二定律得： ${ \mathfrak { q } } \mathsf { E } _ { 2 } - \mathsf { m g } { = } \mathsf { m a } _ { 1 } { \ldots } ( 2 )$

对于场强第二段 $\mathfrak { t } _ { 1 }$ 时间，由牛顿第二定律得： ${ \sf q E } _ { 2 } { + \sf m g } { = } { \sf m a } _ { 2 } { \ldots } ( 3 )$

由运动学公式，可得油滴在电场反向时的速度为： $\mathsf { v } _ { 1 } { = } \mathsf { v } _ { 0 } { + } \mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { t } _ { 1 } ( \overline { { 4 } } )$

油滴在B的速度为： $\mathsf { v } _ { 8 } = \mathsf { v } _ { 1 } - \mathsf { a } _ { 2 } \mathsf { t } _ { 1 } ( \widehat { \mathsf { 5 } } )$

联立①至⑤式，可得： $\mathsf { v } _ { \mathsf { B } } { = } \mathsf { v } _ { 0 } - 2 \mathsf { g t } _ { 1 }$ ；方向向上；

**方法二**：

选向上为正方向，由动量定理有： $\mathtt { - } \mathtt { m g } \times 2 \mathtt { t } \mathtt { + } \mathtt { q } \mathtt { E } _ { 1 } \mathtt { t } - \mathtt { q } \mathtt { E } _ { 1 } \mathtt { t } \mathtt { = } \mathtt { m v } - \mathtt { m v } _ { 0 }$

解得： $\mathsf { v } _ { \mathsf { B } } { = } \mathsf { v } _ { 0 } - 2 \mathsf { g t } _ { 1 }$ ；方向向上；

> ②设无电场时竖直上抛的最大高度为h，由运动学公式，有： $\mathsf { v } _ { 0 } { } ^ { 2 } { = } 2 \mathsf { g h } . . . \textcircled { 6 }$ 根据位移时间关系可得： $\mathsf { v } _ { 0 } \mathsf { t } _ { 1 } { + } \frac { 1 } { 2 } \mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { t } _ { 1 } ^ { 2 } \mathsf { = } \mathtt { x } _ { 1 } { \cdots } \textcircled { 7 }$

$$ \mathrm{v} _ {1} \mathrm{t} _ {1} - \frac {1}{2} \mathrm{a} _ {2} \mathrm{t} _ {1} ^ {2} = \mathrm{x} _ {2} \dots ⑧ $$

油滴运动有两种情况：

情况一：

位移之和 $\mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } = \frac { \mathrm { h } } { 2 } \textcircled { 9 }$

联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：

$$ E _ {2} = E _ {1} + \frac {E _ {1}}{g} \left(g + \frac {v _ {0} ^ {2}}{4 g t _ {1} ^ {2}} - \frac {2 v _ {0}}{t _ {1}}\right) $$

由题意得 $\mathsf E _ { 2 } > \mathsf E _ { 1 }$ ，即满足条件 $\frac { 2 \mathrm { v } _ { \mathsf { 0 } } } { \mathrm { t } _ { 1 } } - \frac { \mathrm { v } _ { \mathsf { 0 } } ^ { 2 } } { \mathsf { 4 g } \mathrm { t } _ { 1 } ^ { 2 } } { < } \mathsf { g } .$ ，即当 $0 { < } _ { \mathrm { t } _ { 1 } } { < } _ { \mathrm { t } _ { 1 } } \mathrm { < } ( 1 { - } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) \frac { \mathrm { v } _ { \bar { 0 } } } { \mathrm { g } }$ 或$\mathfrak { t } _ { 1 } > ( 1 + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) \frac { \mathfrak { v } _ { \bar { 0 } } } { \mathfrak { g } }$ 才是可能的；

情况二：

位移之和 $\mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } = - \ \frac { \mathrm { h } } { 2 }$ ⑩

联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：

$$ E _ {2} = E _ {1} + \frac {E _ {1}}{g} \left(g \frac {v _ {0} ^ {2}}{4 g t _ {1} ^ {2}} - \frac {2 v _ {0}}{t _ {1}}\right) $$

由题意得 $E _ { 2 } > E _ { 1 }$ ，即满足条件 $\frac { 2 \mathrm { v } _ { 0 } } { \mathrm { ~ t ~ } _ { 1 } } + \frac { \mathrm { v } _ { 0 } ^ { 2 } } { \sf 4 g } \sf { \sf { t } } _ { 1 } ^ { 2 } < \mathrm { g }$ ，即 $_ { \mathrm { t } _ { 1 } > ( 1 + \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } ) \frac { \mathrm { v } _ { 0 } } { \mathrm { g } } }$ ，另一解为负，不合题意，舍去。

答：

（1）油滴运动到B点时的速度为 $\mathsf { v } _ { 0 } - 2 \mathsf { g t } _ { 1 }$ ；

（2）增大后的电场强度的大小为 $\mathsf E _ { 1 } { + } \frac { \mathsf E _ { 1 } } { \mathsf g } ( \mathsf g { + } \frac { \mathsf v _ { \parallel } ^ { 2 } } { 4 \mathsf g \mathsf t _ { 1 } ^ { 2 } } { - } \frac { 2 \mathsf v _ { \parallel } } { \mathsf t _ { 1 } } )$ ， $\mathfrak { t } _ { 1 }$ 和 $\mathsf { v } _ { 0 }$ 应满足的条件为 $0 < _ { \textrm { t } _ { 1 } } < ( 1 - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) \frac { \textrm { v } _ { 0 } } { \textrm { g } }$ 或 $\mathfrak { t } _ { 1 } > ( 1 + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) \frac { \mathfrak { v } _ { \bar { 0 } } } { \mathfrak { g } }$ ；或 $\mathsf E _ { 1 } { + } \frac { \mathsf E _ { 1 } } { \mathsf g } ( \mathsf g \frac { \mathsf v _ { \bar { \mathsf { 0 } } } ^ { 2 } } { \mathsf { 4 } \mathsf g \mathsf t _ { 1 } ^ { 2 } } { - } \frac { 2 \mathsf v _ { \bar { \mathsf { 0 } } } } { \mathsf t _ { 1 } } )$ ；相应的 $\mathbf { t } _ { 1 }$ 和 $\mathsf { v } _ { 0 }$ 应满足的条件为 $\mathfrak { t } _ { 1 } > ( 1 + \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } ) \frac { \mathfrak { v } _ { \bar { 0 } } } { \mathfrak { g } } \mathfrak { c }$

【点评】有关带电粒子在匀强电场中的运动，可以从两条线索展开：其一，力和运动的关系。根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度和位移等；其二，功和能的关系。根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理进行解答。