已知四棱锥 P-ABCD， A D / / B C A B…——2024 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析

> ② $\frac { \sqrt { 3 0 } } { 3 0 }$

【解析】

【分析】（1）取PD的中点为S，接 $S F , S C$ ，可证四边形SFBC为平行四边形，由线面平行的判定定理可得BF// 平面PCD.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB和平面PCD的法向量后可求夹角的余弦值.

【小问1详解】

取PD的中点为S，接 $S F , S C$ ，则 $S F / / E D , S F = \frac { 1 } { 2 } E D = 1$

而 $E D / / B C , E D = 2 B C$ ，故 $S F / / B C , S F = B C$ ，故四边形SFBC为平行四边形，

故 $B F / / S C$ ，而 $B F \neq$ 平面PCD，SC Ì平面PCD，

所以BF// 平面PCD.

【小问 2 详解】

因为 $E D = 2$ ，故 $A E = 1$ ，故 $A E / / B C , A E { = } B C$ 故四边形AECB为平行四边形，故 $C E / / A B$ ，所以 $C E \perp$ 平面PAD ，而PE ED, Ì 平面PAD ，故 $C E \bot P E , C E \bot E D$ ，而 $P E \bot E D$ 故建立如图所示的空间直角坐标系，则 $A \left( 0 , - 1 , 0 \right) , B \left( 1 , - 1 , 0 \right) , C \left( 1 , 0 , 0 \right) , D \left( 0 , 2 , 0 \right) , P \left( 0 , 0 , 2 \right)$ 则 $\overrightarrow { P A } = \left( 0 , - 1 , - 2 \right) , \overrightarrow { P B } = \left( 1 , - 1 , - 2 \right) , \overrightarrow { P C } = \left( 1 , 0 , - 2 \right) , \overrightarrow { P D } = \left( 0 , 2 , - 2 \right)$ 设平面PAB的法向量为 $\vec { m } = \left( x , y , z \right)$ 则由 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \vec { m } \cdot \overrightarrow { P \dot { A } } = 0 } } \\ { { \vec { m } \cdot \overrightarrow { P \dot { B } } = 0 } } \end{array} \right.$ 可得 $\left\{ { \begin{array} { l } { { - y - 2 z = 0 } } \\ { { x - y - 2 z = 0 } } \end{array} } \right.$ ，取 $\vec { m } = \left( 0 , - 2 , 1 \right)$ 设平面PCD的法向量为 $\vec { n } = \left( a , b , c \right)$ 则由 $\left\{ \begin{array} { l } { { \vec { n } \cdot \overrightarrow { P C } = 0 } } \\ { { \vec { n } \cdot \overrightarrow { P D } = 0 } } \end{array} \right.$ 可得 $\left\{ { \begin{array} { l } { a - 2 b = 0 } \\ { 2 b - 2 c = 0 } \end{array} } \right.$ ，取 $\vec { n } = \left( 2 , 1 , 1 \right)$ 故 cos ,m $\vec { n } = \frac { - 1 } { \sqrt { 5 } \times \sqrt { 6 } } = - \frac { \sqrt { 3 0 } } { 3 0 }$ 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 $\frac { \sqrt { 3 0 } } { 3 0 }$