2012_退役省自主命题 (2012·理)
17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 。已知 $A=\frac{\pi}{4}$ ，
$b \sin \left(\frac{\pi}{4}+C\right)-c \sin \left(\frac{\pi}{4}+B\right)=a$
（1）求证：$B-C=\frac{\pi}{2}$（2）若 $\mathrm{a}=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积。
【答案】：（2）$\frac{1}{2}$
【解析】：（1）证明：由 $b \sin \left(\frac{\pi}{4}+C\right)-c \sin \left(\frac{\pi}{4}+B\right)=a$ ，应用正弦定理，得
$$ \begin{aligned} & \sin B \sin \left(\frac{\pi}{4}+C\right)-\sin C \sin \left(\frac{\pi}{4}+B\right)=\sin A \\ & \sin B\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin C+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos C\right)-\sin C\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin B+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos B\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$
整理得 $\sin B \cos C-\cos B \sin C=1$ ，
即 $\sin (B-C)=1$ ，由于 $0
由 $a=\sqrt{2}, A=\frac{\pi}{4}$ ，得 $b=\frac{a \sin B}{\sin A}=2 \sin \frac{5 \pi}{8}, c=\frac{a \sin C}{\sin A}=2 \sin \frac{\pi}{8}$ ，解
所以 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\sqrt{2} \sin \frac{5 \pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}$ 。 三
形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用。高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等．来年需要注意第二种题型的考查