在正方体 A B C D - A _ 1 B _ 1 C…——2023 高考数学第 15 题答案解析

【答案】12

【解析】

【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.

【详解】不妨设正方体棱长为2，EF中点为O，取 $A B$ ， $B B _ { 1 }$ 中点 $G , M$ ，侧面 $B B _ { 1 } C _ { 1 } C$ 的中心为N，连接 $F G , E G , O M , O N , M N$ ，如图，

由题意可知，O为球心，在正方体中， $E F = { \sqrt { F G ^ { 2 } + E G ^ { 2 } } } = { \sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } = 2 { \sqrt { 2 } }$

即 $R = \sqrt { 2 }$

则球心O到 $B B _ { 1 }$ 的距离为 $O M = \sqrt { O N ^ { 2 } + M N ^ { 2 } } = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 2 }$

所以球O与棱 $B B _ { 1 }$ 相切，球面与棱 $B B _ { 1 }$ 只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.

故答案为：12