2013_新课标II卷
18．（12分）如图，直棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，D，E分别是AB， $\mathsf { B B } _ { 1 }$ 的中点， $\mathsf { A A } _ { 1 } =$ $A C = C B = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } A B$
（Ⅰ）证明： $\mathsf { B C } _ { 1 } \parallel$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C D }$
（Ⅱ）求二面角 $\mathsf { D } ^ { \mathrm { ~ - ~ } } \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } ^ { \mathrm { ~ - ~ } }$ E的正弦值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法
【专题】11：计算题；14：证明题；5G：空间角
【分析】（Ⅰ）通过证明 $\mathsf { B C } _ { 1 }$ 平行平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C D }$ 内的直线DF，利用直线与平面平行
的判定定理证明 $\mathsf { B C } _ { 1 } \parallel$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C D }$
（Ⅱ）证明 $\tt D E \bot$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { C }$ ，作出二面角 $\mathsf { D } ^ { \mathrm { ~ - ~ } } \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } ^ { \mathrm { ~ - ~ } }$ E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可
【解答】解：（Ⅰ）证明：连结 ${ \mathsf { A C } } _ { 1 }$ 交 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C }$ 于点F，则F为 ${ \mathsf { A C } } _ { 1 }$ 的中点，又D是AB中点，连结DF，则 ${ \mathsf { B C } } _ { 1 } { \parallel \mathsf { D F } }$ 因为 $\mathsf { D F C } ^ { \cdot }$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C D } , \mathsf { B C } _ { 1 } \notin$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C D }$ 所以 $\mathsf { B C } _ { 1 } \parallel$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C D }$ （Ⅱ）因为直棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ ，所以 $\mathsf { A A } _ { 1 } \bot \mathsf { C D }$ 由已知 $A C = C B$ ，D为AB的中点，所以 $C D \bot A B$ 又 $\mathsf { A A } _ { 1 } \cap \mathsf { A B } { = } \mathsf { A }$ ，于是， $\mathsf { C D \perp }$ 平面 $\mathsf { A B B } _ { 1 } \mathsf { A } _ { 1 }$ 设 $A B = 2 \sqrt { 2 }$ ，则 $\mathsf { A A } _ { 1 } = \mathsf { A C } = \mathsf { C B } = 2$ ，得 $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ ${ \mathsf { C D } } = { \sqrt { 2 } } , \mathsf { A _ { 1 } D } = { \sqrt { 6 } } , \mathsf { D E } = { \sqrt { 3 } } , \mathsf { A _ { 1 } E } = 3$ 故 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } ^ { 2 } + \mathsf { D } \mathsf { E } ^ { 2 } = \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } ^ { 2 }$ ，即 $\mathsf { D E \bot A _ { 1 } D }$ ，所以 $\tt D E \bot$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D C }$ 又 $\mathsf { A } _ { 1 } C \mathsf { = } 2 \sqrt { 2 }$ ，过D作 ${ \mathsf { D F } } \bot \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C }$ 于F， $\angle D F E$ 为二面角 $\mathsf { D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } - \mathsf { I }$ E的平面角，在 $\triangle \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { C }$ 中， ${ \mathsf { D F } } { = } \frac { \mathbb { A } _ { 1 } \mathbb { D } ^ { \bullet } { \mathrm { D C } } } { \mathbb { A } _ { 1 } \mathbb { C } } { = } \frac { \sqrt { 6 } } { 2 }$ $E F = \sqrt { D E ^ { 2 } + D F ^ { 2 } } = \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 }$ 所以二面角 $\mathsf { D } ^ { \mathrm { ~ - ~ } } \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } ^ { \mathrm { ~ - ~ } }$ E的正弦值 $\sin \angle D F E = \frac { D E } { E F } = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力