如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间…——2021 高考物理第 23 题答案解析

【答案】（1） $\nu _ { S } = \sqrt { \nu _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 4 e E d } { m } }$ ；② $0 \sim \frac { m \nu _ { 0 } } { 3 e L }$ ；（3） ${ \frac { 3 } { 5 } } n m \nu _ { \mathrm { { 0 } } }$ ，方向沿 z 轴负方向

【解析】

【分析】

【详解】（1）离子从小孔S射出运动到金属板N 中心点O 处，根据动能定理有

$$ 2 e E d = \frac { 1 } { 2 } m { \nu } _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m { \nu } _ { s } ^ { ~ 2 } $$

解得离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小

$$ \nu _ { { \scriptscriptstyle S } } = \sqrt { \nu _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 4 e E d } { m } } $$

> ②当磁场仅有沿x方向的分量取最大值时，离子从喷口P的下边缘中点射出，根据几何关系有

$$ \left( R _ { 1 } - { \frac { L } { 2 } } \right) ^ { 2 } + L ^ { 2 } = R _ { 1 } ^ { 2 } $$

根据洛伦兹力提供向心力有

$$ 2 e \nu _ { 0 } B _ { 0 } = \frac { m \nu _ { 0 } ^ { 2 } } { R _ { 1 } } $$

联立解得

$$ B _ { 0 } = \frac { 2 m \nu _ { 0 } } { 5 e L } $$

当磁场在x和y方向的分量同取最大值时，离子从喷口P边缘交点射出，根据几何关系有

$$ \left( R _ { 2 } - \frac { \sqrt { 2 } L } { 2 } \right) ^ { 2 } + L ^ { 2 } = R _ { 2 } ^ { 2 } $$

此时 $B = \sqrt { 2 } B _ { 0 }$ ；根据洛伦兹力提供向心力有

$$ 2 e \times \nu _ { 0 } \times \sqrt { 2 } B _ { 0 } = \frac { m \nu _ { 0 } ^ { 2 } } { R _ { 2 } } $$

联立解得

$$ B _ { 0 } = \frac { m \nu _ { 0 } } { 3 e L } $$

故 $B _ { 0 }$ 的取值范围为 $0 \sim \frac { m \nu _ { 0 } } { 3 e L }$ ；

（3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示

由题意根据洛伦兹力提供向心力有

$$ 2 e \times \nu _ { 0 } \times \sqrt { 2 } B _ { 0 } = \frac { m \nu _ { 0 } ^ { 2 } } { R _ { 3 } } $$

且满足

$$ B _ { 0 } = \frac { \sqrt { 2 } m \nu _ { 0 } } { 5 e L } $$

所以可得

$$ R _ { 3 } = \frac { m \nu _ { 0 } } { 2 \sqrt { 2 } e B _ { 0 } } = \frac { 5 } { 4 } L $$

所以可得

$$ \cos \theta = \frac { 3 } { 5 } $$

离子从端面P射出时，在沿z轴方向根据动量定理有

$$ F \Delta t = n \Delta t m \nu _ { \mathrm { { 0 } } } \cos \theta - 0 $$

根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为

$$ F ^ { \prime } { = } \frac { 3 } { 5 } n m \nu _ { \mathrm { { 0 } } } $$

方向沿 z 轴负方向。