【解答】
（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( b > 0 )$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { 3 \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$ B $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { 4 \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } = 1$ C $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$ D $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 1 2 } = 1$
【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 4$ ，双曲线的两条渐近线方程为 $\mathrm { y } { = } \pm \frac { \mathrm { b } } { 2 } \mathrm { x }$ ，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 4$ ，双曲线的两条渐近线方程为 $\scriptstyle { I = \pm { \frac { b } { 2 } } \mathrm { { x } } }$ 设 $\textbf { A } ( \mathbf { x } , \ \frac { \mathtt { b } } { 2 } \mathbf { x } )$ ，则∵四边形ABCD的面积为2b，$\therefore 2 x \bullet \mathbf { b x } = 2 \mathbf { b }$ $\therefore x = \pm 1$ 将 $\textbf { A } ( 1 , \ \frac { \mathrm { b } } { 2 } )$ 代入 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 4$ ，可得1 $+ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 } } = 4 , \therefore b ^ { 2 } = 1 2$ ∴双曲线的方程为 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 1 2 } = 1$
故选：D
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题