（5 分）已知 f(x)=m(x-2 m)(x+m+3),…——2012 高考数学第 14 题答案解析

【考点】 2 H ：全称量词和全称命题； 3 V ：二次函数的性质与图象；4E：指数函数综合题。

【专题】 5 L ：简易逻辑。
【分析】（1）由于 $g(x)=2^{x}-2 \geqslant 0$ 时，$x \geqslant 1$ ，根据题意有 $f(x)=m(x-2 m) (x+m+3)<0$ 在 $x>1$ 时成立，根据二次函数的性质可求
②由于 $x \in(-\infty,-4), f(x) g(x)<0$ ，而 $g(x)=2^{x}-2<0$ ，则 $f(x)=m (x-2 m)(x+m+3)>0$ 在 $x \in(-\infty,-4)$ 时成立，结合二次函数的性质可求

【解答】解：对于①$\because g(x)=2^{x}-2$ ，当 $x<1$ 时，$g(x)<0$ ，
又 $\because(1) \forall x \in R, f(x)<0$ 或 $g(x)<0$
$\therefore f(x)=m(x-2 m)(x+m+3)<0$ 在 $x \geqslant 1$ 时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 x 轴交点都在 $(1,0)$ 的

左面
则 $\left\{\begin{array}{l}m<0 \\ -m-3<1 \\ 2 m<1\end{array}\right.$
$\therefore-4<m<0$ 即①成立的范围为 $-4<m<0$
又 $\because(2) x \in(-\infty,-4), f(x) g(x)<0$
∴ 此时 $g(x)=2^{x}-2<0$ 恒成立
$\therefore f(x)=m(x-2 m)(x+m+3)>0$ 在 $x \in(-\infty,-4)$ 有成立的可能，则只要 -4 比 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ 中的较小的根大即可，
（i）当 $-1<m<0$ 时，较小的根为 $-m-3,-m-3<-4$ 不成立，
（ii）当 $m=-1$ 时，两个根同为 $-2>-4$ ，不成立，
（iii）当 $-4<m<-1$ 时，较小的根为 $2 m, 2 m<-4$ 即 $m<-2$ 成立．
综上可得①②成立时－ $4<m<-2$ 。
故答案为：（ $-4,-2$ ）．

【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．

三、解答题公 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．