2012 北京卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知集合 $A=\{x \in R \mid 3 x+2>0\}, B=\{x \in R \mid(x+1)(x-3)>0\}$ ，则 $A \cap B=$

2．（5 分）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是

3．（5 分）设 $a, b \in R$. ＂$a=0$＂是＂复数 $a+b i$ 是纯虚数＂的（）

4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 

5．（5 分）如图，$\angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$ 于点 $D$ ，以 $B D$ 为直径的圆与 $B C$ 交于点 E．则 

6．（5 分）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字 的三位数．其中奇数的个数为

7．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是  正（主）视图  侧（左）视图 

8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（） 

9．（5 分）直线 $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=-1-t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）与曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \alpha \\ y=3 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）的交点个数为 $\_\_\_\_$ 2 ．

10．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$s_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1}=\frac{1}{2}, s_{2}=a_{3}$ ，则 $a_{2}=$ 1 ．

11．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，若 $a=2, b+c=7, \cos B=-\frac{1}{4}$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ 4 ．

12．（5 分）在直角坐标系 $x O y$ 中．直线 $l$ 过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ ．且与该抛物线相交于 $A$ 、 $B$ 两点．其中点 $A$ 在 $x$ 轴上方．若直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ．则 $\triangle$ OAF 的面积为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ ．

13．（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 的值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

14．（5 分）已知 $f(x)=m(x-2 m)(x+m+3), g(x)=2^{x}-2$ ，若同时满足条件： ①$\forall x \in R, f(x)<0$ 或 $g(x)<0$ ； ②$\exists x \in(-\infty,-4), f(x) g(x)<0$ ． 则 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （－4，－2） ．

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ ． （1）求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期； （2）求 $f(x)$ 的单调递增区间。

16．（14分）如图 1，在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, B C=3, A C=6, D$ ，E 分别是 $A C$ ， $A B$ 上的点，且 $D E / / B C, D E=2$ ，将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $\triangle A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C \perp \mathrm{CD}$ ，如图 2. （1）求证： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 BCDE ； （2）若 $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，求 $C M$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的大小； （3）线段 BC 上是否存在点 P ，使平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{DP}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ 垂直？说明理由．  图 1  图2

17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）； | | ＂厨余垃圾＂箱 | ＂可回收物＂箱 | ＂其他垃圾＂箱 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 厨余垃圾 | 400 | 100 | 100 | | 可回收物 | 30 | 240 | 30 | | 其他垃圾 | 20 | 20 | 60 | | :---: | :---: | :---: | :---: | （1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率； （3）假设厨余垃圾在＂厨余垃圾＂箱、＂可回收物＂箱、＂其他垃圾＂箱的投放量分别为 $a, b, c$ ，其中 $a>0, a+b+c=600$ ．当数据 $a, b, c$ 的方差 $s^{2}$ 最大时，写出 $a, b, c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^{2}$ 的值． （求： $\mathrm{S}^{2}=\frac{1}{\mathrm{n}}\left[\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\left(\mathrm{x}_{2}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\ldots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\overline{\mathrm{x}}$ 为数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots$ ， $x_{n}$ 的平均数）

18．（13 分）已知函数 $f(x)=a x^{2}+1(a>0), g(x)=x^{3}+b x$ （1）若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 $a , b$ 的值； （2）当 $a^{2}=4 b$ 时，求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(-\infty$ ， －1）上的最大值．

19．（14 分）已知曲线 $C:(5-m) x^{2}+(m-2) y^{2}=8(m \in R)$ （1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围； ②设 $\mathrm{m}=4$ ，曲线 c 与 y 轴的交点为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$（点 A 位于点 B 的上方），直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+4$与曲线 c 交于不同的两点 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ ，直线 $\mathrm{y}=1$ 与直线 BM 交于点 G ．求证： A ， $G, N$ 三点共线。

20．（13 分）设 $A$ 是由 $m \times n$ 个实数组成的 $m$ 行 $n$ 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1 ，且所有数的和为零，记 $s(m, n)$ 为所有这样的数表构成的集合．对于 $A \in S(m, n)$ ，记 $r_{i}(A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和 $(1 \leqslant i \leqslant m), C_{j}$ （A）为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和 $(1 \leqslant j \leqslant n)$ ；记 $K(A)$ 为 $\left|r_{1}(A)\right|, \mid R_{2}(A) \left|, \ldots,|\operatorname{Rm}(\mathrm{A})|,\left|\mathrm{C}_{1}(\mathrm{~A})\right|,\left|\mathrm{C}_{2}(\mathrm{~A})\right|, \ldots,|\mathrm{Cn}(\mathrm{A})|\right.$ 中的最小值。 （1）如表 $A$ ，求 $K$（ $A$ ）的值； | 1 | 1 | -0.8 | | :---: | :---: | :---: | | 0.1 | -0.3 | -1 | （2）设数表 $A \in S ~(2, ~ 3) ~$ 形如 | 1 | 1 | c | | :---: | :---: | :---: | | a | b | -1 | 求 K（A）的最大值； （3）给定正整数 $t$ ，对于所有的 $A \in S(2,2 t+1)$ ，求 $K(A)$ 的最大值．