2013_新课标I卷
4．（5分）已知双曲线C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$ ，则C的渐 近线方程为（ ） A $\forall \mathbf { \equiv } \pm \frac { 1 } { 4 } \mathbf { x }$ B． $\forall \mathbf { \bar { \rho } } \equiv \pm \frac { 1 } { 3 } \mathbf { x }$ C $y = \pm x$ D $\forall \mathbf { \bar { \rho } } \Psi \equiv \pm \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x }$
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KC：双曲线的性质
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】由离心率和abc的关系可得 $\scriptstyle \mathtt { b } ^ { 2 } = 4 a ^ { 2 }$ ，而渐近线方程为 $\mathsf { y } = \pm \frac { \mathsf { b } } { \mathsf { a } } \mathsf { x }$ ，代入可得答案．
【解答】解：由双曲线C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$
则离心率 $\scriptstyle \mathtt { e = \frac { \mathtt { \mathtt { C } } } { \mathtt { \mathtt { a } } } = \frac { \sqrt { \mathtt { a } ^ { 2 } + \mathtt { b } ^ { 2 } } } { \mathtt { a } } = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } }$ ，即 $4 b ^ { 2 } = a ^ { 2 }$
故渐近线方程为 $\mathsf { y } = \pm \frac { \mathrm { b } } { \mathrm { a } } \mathsf { x } = \pm \frac { 1 } { 2 } \mathsf { x } .$
故选：D
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题