记 S _ n 为数列 a _ n 的前n项和．已知 2…——2022 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；

（2） -78

【解析】

【分析】（1）依题意可得 $2 S _ { n } + n ^ { 2 } = 2 n a _ { n } + n$ ，根据 $a _ { n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { 1 } , n = 1 } \\ { S _ { n } - S _ { n - 1 } , n \geq 2 } \end{array} \right. }$ ，作差即可得到 $a _ { n } - a _ { n - 1 } = 1$ 从而得证；

（2）法一：由（1）及等比中项 性质求出的 $a _ { 1 }$ ，即可得到 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得

【小问1详解】

因为 ${ \frac { 2 S _ { n } } { n } } + n = 2 a _ { n } + 1$ ，即 $2 S _ { n } + n ^ { 2 } = 2 n a _ { n } + n \textcircled { 1 }$

当 $n \geq 2$ 时， $2 S _ { n - 1 } + \left( n - 1 \right) ^ { 2 } = 2 \left( n - 1 \right) a _ { n - 1 } + \left( n - 1 \right) \mathcal { Q }$ ，

_① -_②得， $2 S _ { n } + n ^ { 2 } - 2 S _ { n - 1 } - \left( n - 1 \right) ^ { 2 } = 2 n a _ { n } + n - 2 \left( n - 1 \right) a _ { n - 1 } - \left( n - 1 \right)$

即 $2 a _ { n } + 2 n - 1 = 2 n a _ { n } - 2 { \bigl ( } n - 1 { \bigr ) } a _ { n - 1 } + 1$

即 $2 { \big ( } n - 1 { \big ) } a _ { n } - 2 { \big ( } n - 1 { \big ) } a _ { n - 1 } = 2 { \big ( } n - 1 { \big ) }$ ，所以 $a _ { n } - a _ { n - 1 } = 1$ $n \geq 2$ 且 $n \in \mathbf { N } ^ { * }$

所以 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是以1为公差的等差数列

【小问 2 详解】

**方法一**：二次函数的性质

由（1）可得 $a _ { 4 } = a _ { 1 } + 3 , a _ { 7 } = a _ { 1 } + 6 , a _ { 9 } = a _ { 1 } + 8$

又 $a _ { 4 } , \phantom { { } } a _ { 7 } , \phantom { { } } a _ { 9 }$ 成等比数列，所以 ${ a _ { 7 } } ^ { 2 } = a _ { 4 } \cdot a _ { 9 }$

即 ${ \left( a _ { 1 } + 6 \right) } ^ { 2 } = { \left( a _ { 1 } + 3 \right) } \cdot { \left( a _ { 1 } + 8 \right) }$ ，解得 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = - 1 2$

所以 $a _ { n } = n - 1 3$ ，所以 $S _ { n } = - 1 2 n + { \frac { n { \left( n - 1 \right) } } { 2 } } = { \frac { 1 } { 2 } } n ^ { 2 } - { \frac { 2 5 } { 2 } } n = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( n - { \frac { 2 5 } { 2 } } \right) } ^ { 2 } - { \frac { 6 2 5 } { 8 } } ,$

所以，当 n =12 或 n = 13 时， $\left( S _ { n } \right) _ { \mathrm { m i n } } = - 7 8$

**方法二**：【最优解】邻项变号法

由（1）可得 $a _ { 4 } = a _ { 1 } + 3 , a _ { 7 } = a _ { 1 } + 6 , a _ { 9 } = a _ { 1 } + 8$

又 $a _ { 4 } , \phantom { { } } a _ { 7 } , \phantom { { } } a _ { 9 }$ 成等比数列，所以 ${ a _ { 7 } } ^ { 2 } = a _ { 4 } \cdot a _ { 9 }$

即 ${ \left( a _ { 1 } + 6 \right) } ^ { 2 } = { \left( a _ { 1 } + 3 \right) } \cdot { \left( a _ { 1 } + 8 \right) }$ ，解得 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = - 1 2$

所以 $a _ { n } = n - 1 3$ ，即有 $a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots < a _ { 1 2 } < 0 , a _ { 1 3 } = 0$

则当 n =12 或 n = 13 时， $\left( S _ { n } \right) _ { \mathrm { m i n } } = - 7 8$

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 $S _ { n }$ 的最小值，适用于可以求出 $S _ { n }$ 的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解