2015_退役省自主命题 (2015·文)
23．选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标版权法 $x O y$ 吕，直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2} t \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，$\odot C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ ．
（I）写出 $\odot C$ 的直角坐标方程；
（II）$P$ 为直线 $l$ 上一动点，当 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小时，求点 $P$ 的坐标．
【答案】
（I）$x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=3$ ；
（II）$(3,0)$ ．
## 【解析】
试题分析：（I）由 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ ，得 $\rho^{2}=2 \sqrt{3} \rho \sin \theta$ ，从而有 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{3} y$ ，所以 $x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=3$
（II）设 $P\left(3+\frac{1}{2} t, \frac{\sqrt{3}}{2} t\right)$ ，又 $C(0, \sqrt{3})$ ，则 $|P C|=\sqrt{\left(3+\frac{1}{2} t\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} t-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{t^{2}+12}$ ，故当 $t=0$ 时，
$|P C|$ 取得最小值，此时 $P$ 点的坐标为 $(3,0)$ ．
试题解析：（I）由 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ ，
得 $\rho^{2}=2 \sqrt{3} \rho \sin \theta$ ，
从而有 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{3} y$
所以 $x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=3$
（II）设 $P\left(3+\frac{1}{2} t, \frac{\sqrt{3}}{2} t\right)$ ，又 $C(0, \sqrt{3})$ ，
则 $|P C|=\sqrt{\left(3+\frac{1}{2} t\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} t-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{t^{2}+12}$ ，
故当 $t=0$ 时，$|P C|$ 取得最小值，
此时 $P$ 点的坐标为 $(3,0)$ ．
【考点定位】1．极坐标系与参数方程；2．点与圆的位置关系．
【名师点睛】本题考查极坐标系与参数方程，解决此类问题的关键是如何正确地把极坐标方程或参数方程转化平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．本题属于基础题，注意运算的准确性。