2016_江苏卷
16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱 $\mathrm { A B C } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } }$ 中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱 $\mathrm { B _ { 1 } B _ { \cdot } }$ 上，且 $\mathrm { B _ { 1 } D \bot A _ { 1 } F , ~ \ A _ { 1 } C _ { 1 } \bot A _ { 1 } B _ { 1 } }$ ．求证：
（1）直线DE∥平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$
（2）平面 $\mathrm { B _ { 1 } D E \perp }$ 平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱 $\mathbf { A B C } - \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { B } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 1 }$ 中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { B }$ 上，且 $\mathrm { B _ { 1 } D \bot A _ { 1 } F , ~ \ A _ { 1 } C _ { 1 } \bot A _ { 1 } B _ { 1 } }$ ．求证：
（1）直线DE∥平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$
（2）平面 $\mathrm { B _ { 1 } D E \perp }$ 平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$
【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥ $\mathrm { { A } } _ { 1 } \mathrm { { C } } _ { 1 }$ ，据此可得直线DE∥平面 $\mathrm { A _ { 1 } C _ { 1 } F _ { 1 } }$
（2）通过证明 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathrm { F } \bot \mathrm { D } \mathrm { E }$ 结合题目已知条件 ${ \bf A } _ { 1 } { \mathrm { F } } \bot { \bf B } _ { 1 } { \mathrm { D } }$ ，进而可得平面 $\mathrm { B _ { 1 } D E \perp }$ 平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$
【解答】解： $( 1 ) \because \mathrm { D }$ ，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为 $\triangle \mathrm { A B C }$ 的中位线，
∴DE∥ $\mathbf { A C } :$
$\because \mathrm { A B C } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 }$ 为棱柱，
∴AC∥ $\mathrm { { A } } _ { 1 } \mathrm { { C } } _ { 1 }$
∴DE∥ $| \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 1 }$
$\because \mathrm { A _ { 1 } C _ { 1 } c ^ { \mathrm { _ { 1 } } } }$ 平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$ ，且DE⊄平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$
∴DE∥ $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { F } ;$
> ② $\because \mathrm { A B C } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } }$ 为直棱柱，
$\therefore \mathrm { A A _ { 1 } \bot }$ 平面 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { B } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 1 }$
∴A $\mathbf { A } _ { 1 } \bot \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 1 }$
又 $\because \mathrm { A _ { 1 } C _ { 1 } } \mathrm { \bot A _ { 1 } B _ { 1 } }$ ，且 $\mathbf { A A } _ { 1 } \cap \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { B } _ { 1 } { = } \mathbf { A } _ { 1 }$ <sub>1</sub>，AA<sub>1</sub>、 $_ { \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C } }$ 平面 $\mathbf { A A } _ { 1 } \mathbf { B } _ { 1 } \mathbf { B }$
$\therefore \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \bot$ 平面 $\mathbf { A A _ { 1 } B _ { 1 } B }$
∵DE∥ $\mathrm { { A } } _ { 1 } \mathrm { { C } } _ { 1 }$
∴DE⊥平面 $\mathbf { A A } _ { 1 } \mathbf { B } _ { 1 } \mathbf { B }$
又 ${ \because } \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \mathsf { C }$ 平面 $\mathbf { A A _ { 1 } B _ { 1 } B }$
${ \therefore } \mathrm { D E \bot A _ { 1 } F }$
又 $\because \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { F } \bot \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { D }$ $\mathrm { D E } \cap \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { D } { = } \mathrm { D }$ ，且DE、 $\mathrm { B _ { 1 } D C }$ 平面 $\mathrm { B _ { 1 } D E }$
$\therefore \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { F } \perp$ 平面 $\mathrm { B _ { 1 } D E } .$
又 ${ \because } \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \mathsf { C }$ 平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$
∴平面 $\mathrm { B _ { 1 } D E \perp }$ 平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大