（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【考点】MJ：二面角的平面角及求法．
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法； 5 H ：空间向量及应用； 5 Q ：立体几何．

【分析】（ I ）证明 $\mathrm{AF} \perp$ 平面 EFDC ，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 A $\mathrm{BEF} \perp$ 平面 EFDC ；
（II）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面 $B E C$ 、平面 $A B C$ 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 $E-B C-A$ 的余弦值。

【解答】（I）证明：$\because A B E F$ 为正方形，$\therefore A F \perp E F$ ．
$\because \angle \mathrm{AFD}=90^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{AF} \perp \mathrm{DF}$ ，
$\because \mathrm{DF} \cap \mathrm{EF}=\mathrm{F}$,
$\therefore \mathrm{AF} \perp$ 平面EFDC，
$\because \mathrm{AFC}$ 平面ABEF，
∴ 平面 $A B E F \perp$ 平面 $E F D C$ ；
（II）解：由 $A F \perp D F, A F \perp E F$ ，
可得 $\angle D F E$ 为二面角 $D-A F-E$ 的平面角；
由ABEF为正方形，$A F \perp$ 平面EFDC，
$\because B E \perp E F$,
$\therefore \mathrm{BE} \perp$ 平面EFDC
即有 $C E \perp B E$ ，
可得 $\angle C E F$ 为二面角 $C-B E-F$ 的平面角．

可得 $\angle D F E=\angle C E F=60^{\circ}$ ．
$\because \mathrm{AB} \| \mathrm{EF}, \mathrm{AB} \not \subset$ 平面 $\mathrm{EFDC}, \mathrm{EFC} \subset$ 平面 EFDC ，
$\therefore \mathrm{AB} \|$ 平面 EFDC ，
∵ 平面 $\mathrm{EFDC} \cap$ 平面 $\mathrm{ABCD}=\mathrm{CD}, \mathrm{ABC}$ 平面 ABCD ，
$\therefore \mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$ ，
$\therefore C D \| E F$ ，
∴ 四边形EFDC为等腰梯形。
以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 $\mathrm{FD}=\mathrm{a}$ ，
则 $E(0,0,0), B(0,2 a, 0), C\left(\frac{a}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2} a\right), A(2 a, 2 a, 0)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{EB}}=(0,2 \mathrm{a}, 0), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\frac{\mathrm{a}}{2},-2 \mathrm{a}, \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{a}\right), \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2 \mathrm{a}, 0,0)$
设平面 BEC 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{I}}=\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EB}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{~m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0\end{array}\right.$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}2 a y_{1}=0 \\ \frac{a}{2} x_{1}-2 a y_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} a z_{1}=0\end{array}\right.$ ，取 $\vec{\pi}=(\sqrt{3}, 0,-1)$ ．
设平面 $A B C$ 的法向量为 $\vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}=0\end{array}\right.$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{a}}{2} \mathrm{x}_{2}-2 \mathrm{ay}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{az}_{2}=0 \\ 2 \mathrm{ax}_{2}=0\end{array}\right.$ ，取 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(0, \sqrt{3}, 4)$ ．
设二面角 $E-B C-A$ 的大小为 $\theta$ ，则 $\cos \theta=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}$
$=\frac{-4}{\sqrt{3+1} \cdot \sqrt{3+16}}=-\frac{2 \sqrt{19}}{19}$ ，
则二面角 $E-B C-A$ 的余弦值为 $-\frac{2 \sqrt{19}}{19}$ ．

【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．