2016 新课标 I 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3<0\right\}, B=\{x \mid 2 x-3>0\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．（5分）设（1＋i）$x=1+y i$ ，其中 $x, y$ 是实数，则 $|x+y i|=$（）

3．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 9 项的和为 $27, a_{10}=8$ ，则 $a_{100}=$（）

4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8： 30 发车，小明在7：50至8： 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）

5．（5分）已知方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}+n}-\frac{y^{2}}{3 m^{2}-n}=1$ 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4 ，则 n 的取值范围是（ ）

6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径．若该几何体的体积是 $\frac{28 \pi}{3}$ ，则它的表面积是   

7．（5分）函数 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{e}^{|\mathrm{x}|}$ 在 $[-2,2]$ 的图象大致为

8．（5分）若 $a>b>1, ~ 0<c<1$ ，则（ ）

9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的 $x=0, y=1, n=1$ ，则输出 $x, y$ 的值满足（ ） 

10．（5分）以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D$ 、 $E$ 两点．已知 $|A B|=4 \sqrt{2},|D E|=2 \sqrt{5}$ ，则 $C$ 的焦点到准线的距离为（）

11．（5分）平面 $\alpha$ 过正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $A, \alpha \|$ 平面 $C B_{1} D_{1}, \alpha \cap$ 平面 $A B$ $C D=m, \alpha \cap$ 平面 $A B B_{1} A_{1}=n$ ，则 $m , n$ 所成角的正弦值为

12．（5分）已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi)\left(\omega>0,|\phi| \leq \frac{\pi}{2}\right), x=-\frac{\pi}{4}$ 为 $f(x$ ）的零点，$x=\frac{\pi}{4}$ 为 $y=f(x)$ 图象的对称轴，且 $f(x)$ 在（ $\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}$ ）上单调 ，则 $\omega$ 的最大值为

13．（5分）设向量 $\vec{a}=(m, 1), \vec{b}=(1,2)$ ，且 $|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$ ，则 $m=$

14．（5分）$(2 x+\sqrt{x})^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ 10 ．（用数字填写答案）

15．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$ ，则 $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 64

16．（ 5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料 1.5 kg ，乙材料 1 kg ，用 5 个工时；生产一件产品B需要甲材料 0.5 kg ，乙材料 0.3 kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品B的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150 kg ，乙材料 90 kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000元。

17．（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 \cos C(a \cos B+b$ $ \cos A)=c $ （I）求C； （II）若 $\mathrm{c}=\sqrt{7}, \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的周长．

18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，$A F=2 F D, \angle A F D=90^{\circ}$ ，且二面角 $D-A F-E$ 与二面角 $C-B E-F$ 都是 $60^{\circ}$ 。 （I）证明平面 $A B E F \perp$ 平面 $E F D C$ ； （II）求二面角 $E-B C-A$ 的余弦值。 

19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元 ．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的 同时购买的易损零件数．  （I）求X的分布列； （II）若要求 $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{n}) \geq 0.5$ ，确定 n 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n=19$ 与 $n=20$ 之中选其一，应选用哪个？

20．（12分）设圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， I 交圆 A 于 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ． （I）证明 $|E A|+|E B|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 $\mathrm{C}_{1}$ ，直线 $l$ 交 $\mathrm{C}_{1}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点，过 B 且与 I 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P, Q$ 两点，求四边形 $M P N Q$ 面积的取值范围．

21．（12分）已知函数 $f(x)=(x-2) e^{x}+a(x-1){ }^{2}$ 有两个零点． （I）求 a 的取值范围； （II）设 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ 是 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的两个零点，证明： $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}<2$ ．

22．（10分）如图，$\triangle O A B$ 是等腰三角形，$\angle A O B=120^{\circ}$ ．以 $O$ 为圆心，$\frac{1}{2} O A$ 为半径作圆。 （ I ）证明：直线 AB 与 $\odot \mathrm{O}$ 相切； （II）点 C ， D 在 $\odot \mathrm{O}$ 上，且 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点共圆，证明： $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$ ． 

23．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=1+a \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数，$a>0$ ） －在以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $\mathrm{C}_{2}: \rho=4 \cos \theta$ （I）说明 $\mathrm{C}_{1}$ 是哪种曲线，并将 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程化为极坐标方程； （II）直线 $\mathrm{C}_{3}$ 的极坐标方程为 $\theta=\alpha_{0}$ ，其中 $\alpha_{0}$ 满足 $\tan \alpha_{0}=2$ ，若曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的公共点都在 $\mathrm{C}_{3}$ 上，求 a ．

24．已知函数 $f(x)=|x+1|-|2 x-3|$ ． （I）在图中画出 $y=f(x)$ 的图象； （II）求不等式 $|f(x)|>1$ 的解集。