2023_全国甲卷 (2023·理)
20．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $C$ 的焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值．
(1) $p=2$; (2) $12-8 \sqrt{2}$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】①$p=2$
② $12-8 \sqrt{2}$
【解析】
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 $p$ ；
②设直线 $M N: x=m y+n, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，利用 $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，找到 $m, n$ 的关系，以及 $\triangle M N F$的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【小问 1 详解】
设 $A\left(x_{A}, y_{A}\right), B\left(x_{B}, y_{B}\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+1=0 \\ y^{2}=2 p x\end{array}\right.$ 可得，$y^{2}-4 p y+2 p=0$ ，所以 $y_{A}+y_{B}=4 p, y_{A} y_{B}=2 p$ ，
所以 $|A B|=\sqrt{\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}+\left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}}=\sqrt{5}\left|y_{A}-y_{B}\right|=\sqrt{5} \times \sqrt{\left(y_{A}+y_{B}\right)^{2}-4 y_{A} y_{B}}=4 \sqrt{15}$ ，
即 $2 p^{2}-p-6=0$ ，因为 $p>0$ ，解得：$p=2$ ．
【小问 2 详解】
因为 $F(1,0)$ ，显然直线 $M N$ 的斜率不可能为零，
设直线 $M N: x=m y+n, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 x \\ x=m y+n\end{array}\right.$ 可得，$y^{2}-4 m y-4 n=0$ ，所以，$y_{1}+y_{2}=4 m, y_{1} y_{2}=-4 n$ ，
$\Delta=16 m^{2}+16 n>0 \Rightarrow m^{2}+n>0$,
因为 $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，所以 $\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)+y_{1} y_{2}=0$ ，
即 $\left(m y_{1}+n-1\right)\left(m y_{2}+n-1\right)+y_{1} y_{2}=0$ ，
亦即 $\left(m^{2}+1\right) y_{1} y_{2}+m(n-1)\left(y_{1}+y_{2}\right)+(n-1)^{2}=0$ ，
将 $y_{1}+y_{2}=4 m, y_{1} y_{2}=-4 n$ 代入得，
$4 m^{2}=n^{2}-6 n+1, \quad 4\left(m^{2}+n\right)=(n-1)^{2}>0$,
所以 $n \neq 1$ ，且 $n^{2}-6 n+1 \geq 0$ ，解得 $n \geq 3+2 \sqrt{2}$ 或 $n \leq 3-2 \sqrt{2}$ ．
设点 $F$ 到直线 $M N$ 的距离为 $d$ ，所以 $d=\frac{|n-1|}{\sqrt{1+m^{2}}}$ ，
$|M N|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}=\sqrt{1+m^{2}}\left|y_{1}-y_{2}\right|=\sqrt{1+m^{2}} \sqrt{16 m^{2}+16 n}$
$=2 \sqrt{1+m^{2}} \sqrt{4\left(n^{2}-6 n+1\right)+16 n}=2 \sqrt{1+m^{2}}|n-1|$,
所以 $\triangle M N F$ 的面积 $S=\frac{1}{2} \times|M N| \times d=\frac{1}{2} \times \frac{|n-1|}{\sqrt{1+m^{2}}} \times 2 \sqrt{1+m^{2}}|n-1|=(n-1)^{2}$ ，
而 $n \geq 3+2 \sqrt{2}$ 或 $n \leq 3-2 \sqrt{2}$ ，所以，
当 $n=3-2 \sqrt{2}$ 时，$\triangle M N F$ 的面积 $S_{\min }=(2-2 \sqrt{2})^{2}=12-8 \sqrt{2}$ ．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到 $m, n$ 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值．