（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中…——2016 高考数学第 25 题答案解析

【解答】
（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 $\mathbf { x } \mathbf { O y }$ 中，已知直线l： $\mathbf { x } - \mathbf { y } - 2 { = } 0$ ，抛物线C： $\scriptstyle \mathbf { y } ^ { 2 } = 2 \mathbf { p } \mathbf { x } \ \left( \mathbf { p } > 0 \right)$

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q

①求证：线段PQ的中点坐标为 $( 2 \tt - p , \mathrm { ~ \tt ~ - ~ p ~ ) ~ }$

②求p的取值范围

【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程

（2）：①设点P $( { \bf x } _ { 1 } , ~ { \bf y } _ { 1 } ) ~ , ~ { \bf Q } ~ ( { \bf x } _ { 2 } , ~ { \bf y } _ { 2 } )$ ，通过抛物线方程，求解k_PQ，通过P，Q关于直线l对称，点的 $\mathrm { { \bar { \ c p } q ^ { = - 1 } } }$ ，推出 ${ \frac { \mathbf { y } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 2 } } { 2 } } = - \mathbf { \nabla } \mathfrak { p } ;$ ，PQ的中点在直线l上，推出 $\frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { 2 } = 2 - \mathbf { p }$ ，即可证明线段PQ的中点坐标为 $( 2 \tt - p , \mathrm { ~ \tt ~ - ~ p ~ ) ~ }$ ；

②利用线段PQ中点坐标 $( 2 \texttt { - p , } \texttt { - p } )$ ．推出 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \tt y } _ { 1 } + { \tt y } _ { 2 } = - { \tt 2 p } } \\ { { \tt y } _ { 1 } { \tt y } _ { 2 } = 4 { \tt p } ^ { 2 } - 4 { \tt p } } \end{array} \right.$ ，得到关于 $\mathrm { y } ^ { 2 } { + } 2 \mathrm { p } \mathrm { y } { + } 4 \mathrm { p } ^ { 2 } \ .$

$4 { \mathsf { p } } { = } 0$ ，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围

【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）

$$ \therefore \frac { p } { 2 } = 2 , $$

∴抛物线C： $\scriptstyle \mathbf { y } ^ { 2 } = 8 \mathbf { x }$

（2）证明：①设点 $\mathrm { ~ { ~ \bf ~ P ~ } ~ } ( \mathrm { { x } } _ { 1 } , \mathrm { { \bf ~ y } } _ { 1 } ) , \mathrm { { ~ \bf ~ Q ~ } } ( \mathrm { { x } } _ { 2 } , \mathrm { { \bf ~ y } } _ { 2 } )$ ，则： $\left\{ \begin{array} { l l } { { \mathbf { y } _ { 1 } } ^ { 2 } = 2 { \tt p } \mathbf { x } _ { 1 } } \\ { { \mathbf { y } _ { 2 } } ^ { 2 } = 2 { \tt p } \mathbf { x } _ { 2 } } \end{array} \right.$

即： $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { { \underline { { { y _ { 1 } } } } } ^ { 2 } = { \underline { { x _ { 1 } } } } } \\ { { \overline { { 2 { \mathtt { p } } } } } ^ { 2 } = { \underline { { x _ { 1 } } } } } \\ { { \underline { { { y _ { 2 } } } } } ^ { 2 } = { \underline { { x _ { 2 } } } } } \end{array} \right. } , \ \ker _ { \underline { { { y _ { 1 } } } } ^ { 2 } } - { \frac { { y _ { 1 } } - { y _ { 2 } } } { 2 { \underline { { \mathtt { p } } } } } ^ { 2 } = { \underline { { 2 \mathtt { p } } } } } ,$

又∵P，Q关于直线l对称， $\therefore \mathrm { k p } _ { \mathrm { Q } } = - \mathrm { ~ 1 ~ }$ ，即 $\bf y _ { 1 } + \bf y _ { 2 } = - \nabla 2 p , \frac { \bf y _ { 1 } + \bf y _ { 2 } } { 2 } = - \nabla p ,$

又PQ的中点在直线l上， $\therefore \frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { 2 } = \frac { \mathbf { y } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 2 } } { 2 } + \mathbf { \zeta } 2 = 2 - \mathbf { p }$

∴线段PQ的中点坐标为 $( 2 \texttt { - p , } \texttt { - p } )$

②因为Q中点坐标 $( 2 \tt - p , \mathrm { ~ \tt ~ - ~ p ~ ) ~ }$

$\scriptstyle \left\{ { \begin{array} { l } { y _ { 1 } + y _ { 2 } = - 2 { \mathtt { p } } } \\ { \displaystyle { \mathtt { x } } _ { 1 } + { \mathtt { x } } _ { 2 } = { \frac { { y _ { 1 } } ^ { 2 } + { \mathtt { y } } _ { 2 } ^ { \ 2 } } { 2 { \mathtt { p } } } } = 4 - 2 { \mathtt { p } } } \end{array} } \right.$ ，即 $\left\{ { \begin{array} { l } { { \tt y } _ { 1 } + { \tt y } _ { 2 } = - { \tt 2 p } } \\ { { \tt y } _ { 1 } { { } ^ { 2 } } + { { \tt y } _ { 2 } } ^ { 2 } = 8 { \tt p } - { \tt 4 p } ^ { 2 } } \end{array} } \right.$
$\therefore \left\{ \begin{array} { l l } { { \tt y } _ { 1 } + { \tt y } _ { 2 } = - { \tt 2 p } } \\ { { \tt y } _ { 1 } { \tt y } _ { 2 } = { \tt 4 p } ^ { 2 } - { \tt 4 p } } \end{array} \right.$ ，即关于 $\cdot \mathrm { y } ^ { 2 } + 2 \mathrm { p } \mathrm { y } + 4 \mathrm { p } ^ { 2 } - 4 \mathrm { p } = 0$ ，有两个不相等的实数根，
$\therefore \triangle > 0 , ~ ( 2 { \bf p } ) ~ ^ { 2 } - 4 ~ ( 4 { \bf p } ^ { 2 } - 4 { \bf p } ) > 0 ,$
$\therefore \mathtt { p } \in ( 0 , \ { \frac { 4 } { 3 } } )$

【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力