如图，在矩形 A B C D 中， A B= 2 , B…——2012 高考数学第 9 题答案解析

【解答】
（5分）（2012•江苏）如图，在矩形 ABCD 中， $\mathrm{AB}=\sqrt{2}, \mathrm{BC}=2$ ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}}$ 的值是＿$\sqrt{2}$ 。

考点 平面向量数量积的运算．
：
专题 平面向量及应用．

分析 根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模 ：长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于 0 ，得到结果．
解答
解：$\because \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，

$$ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}})=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}=\sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{DF}}|=\sqrt{2}, $$

$\therefore|\overrightarrow{\mathrm{DF}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{CF}}|=\sqrt{2}-1$ ，

$$ \begin{aligned} & \therefore \overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}}=(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}) \quad(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}})=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)+1 \times 2=-2 \\ & +\sqrt{2}+2=\sqrt{2}, \end{aligned} $$

故答案为：$\sqrt{2}$
点评 本题考查平面向量的数量积的运算。本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向 ：量的和的形式，本题是一个中档题目。