2012 江苏卷 数学

某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 $3: 3: 4$ ，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 $\_\_\_\_$名学生．

右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 $\_\_\_\_$ ．

函数 $f(x)=\sqrt{1-2 \log _{6} x}$ 的定义域为 $\_\_\_\_$ A ．

现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，-3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8的概率是 $\_\_\_\_$ ． ．

（第4题）

如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=A D=3 \mathrm{~cm}, A A_{1}=2 \mathrm{~cm}, D_{1}$则四棱锥 $A-B B_{1} D_{1} D$ 的体积为 $\_\_\_\_$ A $\mathrm{cm}^{3}$ ．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m^{2}+4}=1$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $m$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=\sqrt{2}, B C=2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A F}=\sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B F}$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 2 的函数，在区间 $[-1,1]$ 上，

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x+1,-1 \leqslant x<0, \\ \frac{b x+2}{x+1}, 0 \leqslant x \leqslant 1,\end{array}\right.$ 其中 $a, b \in \mathbf{R}$ ．若 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ，
（第9题）
则 $a+3 b$ 的值为

设 $\alpha$ 为锐角，若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$ ，则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)$ 的值为

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 C 的方程为 $x^{2}+y^{2}-8 x+15=0$ ，若直线 $y=k x-2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 $k$ 的最大值是

已知函数 $f(x)=x^{2}+a x+b(a, b \in \mathbf{R})$ 的值域为 $[0,+\infty)$ ，若关于 x 的不等式 $f(x)<c$的解集为 $(m, m+6)$ ，则实数 $c$ 的值为

（本小题满分 14 分）

在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}$ ．
（1）求证： $\tan B=3 \tan A$ ；
（2）若 $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 A 的值．